UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIENCIAS FISICAS E MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

PROGRAMA DA DISCIPLINA MTM 5815 - H-CÁLCULO I

CURSO(S): Bacharelado em Matemática

SEMESTRES: 94/1......................................................

PRE-REQUISITOS: -

Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 08

TOTAL DE HORAS-AULA: 144

EMENTA: Números (Propriedades básicas, valor absoluto, desigualdades. Números naturais, inteiros, racionais, reais). Funções reais de variável real (Gráficos, limites, continuidade, infimo/supremo, existência de máximo de função contínua em intervalo fechado). Derivada (Diferenciação, significado da derivada, convexidade, derivada da função inversa). Integral (Somas de Riemann, Teorema Fundamental do Cálculo). Funções trigonométricas, logaritmo, exponencial. Aplicações numéricas. Uso de pacotes.

OBJETIVOS:

1. Propiciar ao aluno condições de:

a) dominar com rigor e detalhe os conceitos e resultados básicos do Cálculo de funções de uma variável real.

b) desenvolver sua capacidade de aplicar as técnicas e resultados fundamentais de funções de uma variável real à resolução de problemas.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

0. Discussão de alguns conteúdos do 1º e 2º Graus (primeira semana) de acordo com o Laboratório de Cálculo.

1. Números. Propriedades básicas. Desigualdades. Valor absoluto. Desigualdade triangular. Desigualdade de Schwarz.

2. Números naturais. Princípio da Indução Matemática. Números inteiros pares e ímpares. Números racionais e irracionais. Reais.

3. Funções. Domínio. Soma, produto e quociente de funções. Função composta. Funções polinomiais e funções racionais. Funções pares e funções impares. Fórmula de interpolação de Lagrange.

4. Gráficos de funções. Pares ordenados. Intervalos abertos e fechados. Função linear e função potência. Funções periódicas. Função maior inteiro. Coordenadas polares.

5. Limite de uma função. Unicidade do limite.

6. Funções contínuas. Continuidade da soma, produto e composição de funções contínuas.

7. Supremo e infimo. Três teoremas fundamentais sobre funções contínuas definidas em intervalo fechado [a,b]: Valor intermediário, limitação superior, valor máximo. continudade uniforme.

8. Derivada. Significado Geométrico. Velocidade instantânea. Diferenciabilidade. Diferenciabilidade e continuidade. Derivadas de ordem superior.

9. Diferenciação: Cálculo de derivadas. Teoremas de diferenciação. Regra da cadeia. Fórmula de Leibniz para derivadas de produtos.

10. Significado da derivada: máximos e mínimos de uma função. Pontos críticos e valores críticos. Teorema de Rolle. Teorema do valor médio. Funções crescentes e funções decrescentes. Regra de L'Hôpital. Função Lipschitziana. Convexidade e Concavidade.

11. Funções inversas. Injetividade. Diferenciabilidade da inversa. Diferenciação implícita.

12. Integral. Somas superiores e somas inferiores. Integrabilidade de uma função. Área. Somas de Riemann. Cálculo de áreas e volumes de superfícies de revolução.

13. O Teorema Fundamental de Cálculo.

14. Funções trigonométricas.

15. As funções logaritmo e exponencial.

BIBLIOGRAFIA:

SPIVAK, M. : Calculus (Publish or Perish, Inc., 2 nd ed. 1980)