1303ITAUTEC REDATOR DOC 110400032074

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE MTM 5820 - H-ÁLGEBRA LINEAR II

PRÉ-REQUISITO: MTM 5819

Nº DE HORAS/AULA SEMANAIS: 08

Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 144

SEMESTRES: 94/2....................................................

CURSO(S): Bacharelado em Matemática e Computação Científica

EMENTA: Espaços vetoriais e Equações Lineares. Transformacões lineares. Ortogonalidade. Introdução a autovalores e autovetores.

OBJETIVOS:

Objetivos Gerais

I - Propiciar ao aluno condições de:

1. Desenvolver sua capacidade de dedução.

2. Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.

3. Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.

4. Desenvolver seu espírito crítico e criativo.

5. Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso.

6. Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

II - Propiciar ao aluno condições de desenvolver sua capacidade de identificar e resolver problemas em Matemática.

Objetivos Específicos

Propiciar ao aluno condições de:

Obter o conhecimento básico sobre a estrutura de espaço vetorial;

Descrever transformações lineares a partir de matrizes;

Saber resolver problemas de quadrados mínimos;

Conhecer processos de ortogonalização de vetores e as vantagens

deste processo;

Entender a teoria envolvida na diagonalização de uma matriz quando isto for possível.

CONTEÚDO PROGRAMATICO:

1 - ESPAÇOS VETORIAIS

1.1. Subespaços vetoriais. Interseção e soma de subespaços vetoriais. Soma direta de subespaços.

Sistema de m equações lineares em n variáveis. A forma escalonada de uma matriz m x n Variáveis dependentes e independentes de um sistema linear.

1.3. Dependência linear entre vetores. Base e dimensão de um espaço vetorial.

1.4. Os quatro espaços fundamentais definidos a partir de uma matriz: espaço coluna, espaço linha, núcleo à direita e núcleo à esquerda. O Posto de uma matriz. Matrizes de posto um.

1.5. Matriz de incidência de um grafo orientado. Grafos e Redes em Matemática Discreta.

2 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES

2.1. Matriz de uma transformação linear em relação a uma base do domínio e a uma base do contradomínio. Núcleo e imagem de uma transformação linear. Teorema do núcleo e da imagem de uma transformação linear.

2.2. Rotações, projeções e reflexões.

2.3. Composição de transformações lineares. Transformações lineares inversíveis. Isomorfismo e exemplos de espaços isomorfos. Operadores Lineares.

2.4. Os espaços fundamentais para o produto AB de duas matrizes.

3 - ORTOGONALIDADE

3.1. Vetores perpendiculares e subespaços ortogonais.

3.2. Produtos internos. Ângulo entre vetores em relação a um produto interno. Desigualdade de Schwarz.

3.3. Projeção de um vetor sobre um espaço. O problema de mínimos quadrados. Ajuste linear de dados por mínimos quadrados.

3.4. Bases ortogonais, matrizes ortogonais e o método de ortogonalização de Gram-Schmidt.

3.5. Espaços de funções e séries de Fourier. Transformada Rápida de Fourier (FFT).

4 - AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UM OPERADOR LINEAR

4.1. Autovalores e autovetores de uma matriz triangular.

4.2. Polinômio característico de uma matriz. Determinação do auto espaço associado a um autovalor.

4.3. Matrizes diagonalizáveis.

4.4. Formas quadráticas e sua diagonalização.

BIBLIOGRAFIA:

1. STRANG, GILBERT - Linear Álgebra and its applications; Ed. Harcourt Brace Jovanovich. 1990

2. VEGA, CARLOS CHAVES - Algebra Linear; Ed. San Marcos 1980.

3. LIPSCHUTZ, SEYMAUR - Álgebra Linear, Ed. McGraw-Hill do Brasil

4. BALDRINI e Outros - Álgebra Linear, 3ª edição - HARBRA