UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

 

PROGRAMA MTM 5821 - H-ALGEBRA LINEAR III

 

PRÉ-REQUISITO(S): Álgebra Linear II

Nš DE HORAS AULA SEMANAIS: 08

Nš TOTAL DE HORAS AULA: 144

SEMESTRE: 95.1

CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica

EMENTA: Autovalores e autovetores. Matrizes positivas definidas. Computação com matrizes. Programação Linear e Teoria de Jogos.

OBJETIVOS GERAIS: Propiciar ao aluno condições de:

1 - Desenvolver sua capacidade de dedução.

2 - Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.

3 - Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.

4 - Desenvolver seu espírito crítico e criativo

5 - Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de matemática apresentadas ao longo do curso.

6 - Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Propiciar ao aluno condições de:

1) Obter conhecimento básico sobre a estrutura do problema de autovalores e sua relação com alguns problemas de aplicações;

2) Compreender os principais resultados e teoremas relacionados às matrizes definidas positivas;

3) Resolver, satisfatoriamente, os principais problemas em computação de matrizes por diferentes técnicas;

4) Conhecer os princípios da Programação.

1 - AUTOVALORES E AUTOVETORES: Aplicações

1.1. A decomposição em valores singulares (SVD) de uma matriz. Decomposição polar. A pseudo inversa e a solução do problema de mínimos quadrados.

1.2. Equações de diferenças: seqüências de Fibonacci, processos de Markov

1.3. Equações diferenciais e a exponencial de uma matriz

1.4. Matrizes complexas: Simétrica x Hermitiana e ortogonal x unitária.

1.5. Matrizes similares: mudanças de bases e a forma triangular (forma de Schur) de uma matriz.

  1. Teorema espectral para matrizes simétricas (ou hermitianas).
  2. Forma de Jordan.

2 - MATRIZES POSITIVAS DEFINIDAS

T

2.1. A forma quadrática f = x Ax pontos de mínimo de máximo e de sela.

2.2. Testes para verificar se uma matriz simétrica é positiva definida.

2.3. Matrizes positivas semi definidas e indefinidas. Lei da Inércia de Sylvester. O problema de autovalores generalizados.

2.4. Princípio de Minimax para autovalores. O quociente de Rayleigh.

2.5. Introdução ao método de elemento finito.

 

3 - COMPUTAÇÃO COM MATRIZES

3.1. Norma e nš de condição de uma matriz

3.2. Computação de autovalores: transformações de Householder, forma de Hessemberg e o algoritmo QR.

3.3. Métodos iterativos para resolver Ax = b: Jacobi, Gauss-Seidel e SOR.

4 - PROGRAMAÇÃO LINEAR E TEORIA DOS JOGOS

4.1. Desigualdades Lineares

4.2. O método simplex e o método de Karmarkas

4.3. A teoria de dualidade

4.4. Modelos em Redes

4.5. Teoria dos jogos e teorema Minimax.

BIBLIOGRAFIA:

Strang, Gilbert - Linear Álgebra and its Applications - Harcourt Brace Jovanovich (3 rd edition).

B. Noble a J. W. Daniel. Applied Linear Álgebra Bth edition.