UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA MTM 5821 - H-ALGEBRA LINEAR III
PRÉ-REQUISITO(S): Álgebra Linear II
Nš DE HORAS AULA SEMANAIS: 08
Nš TOTAL DE HORAS AULA: 144
SEMESTRE: 95.1
CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica
EMENTA: Autovalores e autovetores. Matrizes positivas definidas. Computação com matrizes. Programação Linear e Teoria de Jogos.
OBJETIVOS GERAIS: Propiciar ao aluno condições de:
1 - Desenvolver sua capacidade de dedução.
2 - Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.
3 - Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.
4 - Desenvolver seu espírito crítico e criativo
5 - Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de matemática apresentadas ao longo do curso.
6 - Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Propiciar ao aluno condições de:
1) Obter conhecimento básico sobre a estrutura do problema de autovalores e sua relação com alguns problemas de aplicações;
2) Compreender os principais resultados e teoremas relacionados às matrizes definidas positivas;
3) Resolver, satisfatoriamente, os principais problemas em computação de matrizes por diferentes técnicas;
4) Conhecer os princípios da Programação.
1 - AUTOVALORES E AUTOVETORES: Aplicações
1.1. A decomposição em valores singulares (SVD) de uma matriz. Decomposição polar. A pseudo inversa e a solução do problema de mínimos quadrados.
1.2. Equações de diferenças: seqüências de Fibonacci, processos de Markov
1.3. Equações diferenciais e a exponencial de uma matriz
1.4. Matrizes complexas: Simétrica x Hermitiana e ortogonal x unitária.
1.5. Matrizes similares: mudanças de bases e a forma triangular (forma de Schur) de uma matriz.
2 - MATRIZES POSITIVAS DEFINIDAS
T
2.1. A forma quadrática f = x Ax pontos de mínimo de máximo e de sela.
2.2. Testes para verificar se uma matriz simétrica é positiva definida.
2.3. Matrizes positivas semi definidas e indefinidas. Lei da Inércia de Sylvester. O problema de autovalores generalizados.
2.4. Princípio de Minimax para autovalores. O quociente de Rayleigh.
2.5. Introdução ao método de elemento finito.
3 - COMPUTAÇÃO COM MATRIZES
3.1. Norma e nš de condição de uma matriz
3.2. Computação de autovalores: transformações de Householder, forma de Hessemberg e o algoritmo QR.
3.3. Métodos iterativos para resolver Ax = b: Jacobi, Gauss-Seidel e SOR.
4 - PROGRAMAÇÃO LINEAR E TEORIA DOS JOGOS
4.1. Desigualdades Lineares
4.2. O método simplex e o método de Karmarkas
4.3. A teoria de dualidade
4.4. Modelos em Redes
4.5. Teoria dos jogos e teorema Minimax.
BIBLIOGRAFIA:
Strang, Gilbert - Linear Álgebra and its Applications - Harcourt Brace Jovanovich (3 rd edition).
B. Noble a J. W. Daniel. Applied Linear Álgebra Bth edition.