UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA




PROGRAMA DE MTM 5864 – B CÁLCULO IV





PRÉ-REQUISITO(S): MTM 5863

Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 06

Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 108

SEMESTRE: 2003/1

CURSO(S): Bacharelado em Matemática e Computação Científica



EMENTA: Métodos de soluções de EDOs, Transformada de Laplace, Sequências e séries de funções, Soluções de EDOs por séries de potências, Séries de Fourier, Transformada de Fourier, Aplicações a EDPs.


OBJETIVOS GERAIS: Propiciar ao aluno condições de:


  1. Desenvolver sua capacidade de dedução.

  2. Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.

  3. Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.

  4. Desenvolver seu espírito crítico e criativo

  5. Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso.

  6. Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.


  1. Propiciar ao aluno condições de:


  1. Dominar com rigor e detalhe os conceitos e resultados relativos a convergência pontual e uniforme de sequências e séries de funções reais.

  2. Dominar os conceitos e técnicas de transformadas integrais

  3. Desenvolver técnicas de resolução de equações diferenciais ordinárias e aplicar os métodos utilizando séries de potências e transformadas integrais.

  4. Tomar um primeiro contato com equações diferenciais parciais.


CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:


  1. Sequências e séries de funções.

1.1 – Sequências de funções, exemplos, convergência pontual, critério de Cauchy.

1.2 – Séries de funções, exemplos, convergência pontual, critério de Cauchy.

1.3 – Convergência uniforme de frequências e séries de funções.

1.4 – Teste de convergência uniforme para séries de funções.

1.5 – Cálculo com séries uniformemente convergentes permutação de termos, soma e multiplicação de séries, diferenciação e integração de séries.

1.6 – Séries de potências, exemplos, intervalos de convergência.

1.7 – Cálculo com séries de potências.

1.8 – Expansão de funções em séries de potências, unicidade da expansão, séries de Taylor, propriedades das funções analíticas.

1.9 – Séries binomiais, séries arctan, arcsin, arccos, arcsinh, arccosh, arctanh, In, etc.

1.10 – Aplicações.


  1. Séries de Fourier


2.1 – Séries trigonométricas.

2.2 – Definição da série de Fourier.

2.3 – Cálculo da série de Fourier de várias funções periódicas.

2.4 – Propriedades de paridade.

2.5 – Série de Fourier complexa.

2.6 – Convergência pontual e uniforme de séries de Fourier.

2.7 – Desigualdade de Bessel, identidade de Parseval.


  1. Métodos de soluções de Equações diferenciais ordinárias


3.1 – EDOs lineares de primeira ordem.

3.2 – Equações separáveis.

3.3 – Equações homogêneas.

3.4 – Equações exatas, fator integrante.

3.5 – Algumas aplicações de EDOs de primeira ordem.

3.6 – EDOs lineares de Segunda ordem.

3.7 – Caso homogêneo, espaço de soluções, Wronskiano.

3.8 – EDOs lineares de Segunda ordem com coeficientes constantes.

3.9 – Soluções do problema não homogêneo.

3.10 – Resolução de EDOs não lineares de Segunda ordem por séries de potências (próximo a pontos ordinários e próximo a pontos singulares).

3.10 – Aplicações de EDOs lineares de Segunda ordem, vibrações mecânicas, circuitos elétricos.

3.11 – EDOs lineares de ordem n.

3.12 - Considerações gerais sobre existência e unicidade de soluções.


  1. Transformadas Integrais


4.1 – A Transformada de Laplace, definição e condições de existência.

4.2 – Cálculo da Transformada de Laplace para funções elementares.

4.3 – Propriedades da Transformada de Laplace.

4.4 – Inversão da Transformada de Laplace.

4.5 – Teorema de Convolução

4.6 – Transformada de Fourier.

4.7 – Cálculo da Transformada de Fourier para funções elementares.

4.8 – Propriedades da Transformada de Fourier.

4.9 – Inversão da transformada de Fourier.

4.10 – Convolução

4.11 – Aplicações de transformadas integrais para a resolução de EDOs lineares.


5 – Introdução às equações Diferenciais Parciais.


5.1 – EDPs de primeira ordem

5.2 – EDPs de Segunda ordem, equação de calor, equação de onda, equação de Laplace.

5.3 – Solução da Equação de Laplace em coordenadas cartesianas, uma aplicação de séries de Fourier.


BIBLIOGRAFIA:


Stewart, J.: “Calculus” Cole Publishing Company, 3 rd ed., 1995.

Spivak, M.: “Calculus”, Publish or Perish, 3 rd ed., 1994.

Lima, E. L.: “Curso de Análise”, Vol. 1, Projeto Euclides (IMPA), 7a Ed., 1992.

Figueiredo, D. G.: “Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais”, Projeto Euclides (IMPA) 1977.

Boyce, W. E., Diprima, R. C.: “Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno”, Guanabara Dois 1977.