UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PROGRAMA DE MTM 5865- CÁLCULO VARIACIONAL
PRÉ-REQUISITO(S): MTM5863 e MTM 5872
Nº DE HORAS-AULAS SEMANAIS: 06
Nº TOTAL DE HORAS AULA: 108
SEMESTRE: 2004-1
CURSO(S): Matemática, habilitação: Bacharelado em Matemática e Computação Científica
EMENTA: Princípio de Fermat. Princípio de Maupertuis. Equação de Euler-Lagrange. Exemplos de aplicações do princípio variacional. Formulações Lagrangeana e Hamiltoniana da Mecânica Clássica. Problemas variacionais com vínculos. Formulação variacional de meios contínuos e Teoria Clássica de Campos. Formulação variacional de problemas de auto-valores. Princípio variacional e Mecânica Quântica.
OBJETIVOS DO CURSO: Propiciar ao aluno condições de:
- Desenvolver sua capacidade de dedução;
- Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;
- Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;
- Desenvolver seu espírito crítico e criativo;
- Perceber e compreender o inter-relacionamento das diversas áreas da Matemática
apresentadas ao longo do Curso;
- Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
OBJETIVO DA DISCIPLINA: Propiciar ao aluno condições de:
- Dominar e aplicar os conceitos relativos ao cálculo com funcionais em espaços de funções.
Trabalhar os problemas variacionais clássicos.
Aplicar as técnicas variacionais em equações diferenciais parciais e em problemas de auto-valores.
Conhecer modernas aplicações de técnicas variacionais.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
1- Introdução.
1.1- Motivação e origens históricas
1.2- Princípio de Fermat na ótica.
1.3- Problemas variacionais clássicos.
1.3.1- Problema da Braquistócrona.
1.3.2- Problema da Geodésica.
1.3.3- Problema de Plateau de superfícies mínimas.
1.3.4- Problemas isoperimétricos.
1.4- Princípios de mínima ação de Maupertuis e Hamilton.
2- Cálculo Funcional
2.1- Espaços de funções.
2.2- Funcionais lineares em espaços de funções.
2.3- Derivação de funcionais.
2.4- Minimização de funcionais. Equações de Euler-Lagrange.
3- Problemas Variacionais
3.1- Variação de funcionais com extramidades fixas.
3.2- Exemplos: Braquistócrona, Geodésica, equações de movimento em Mecânica Clássica.
3.3- Variação de funcionais com extremidades sobre curvas ou superfícies.
3.4- Exemplos: Superfícies mínimas, problemas isoperimétricos.
3.3- Problemas mecânicos com vínculos.
4- Forma canônica das equações de Euler-Lagrange.
4.1- Equações de Hamilton.
4.2- Transformações de Legendre.
4.3- Transformações Canônicas.
4.4- Teorema de Noether, leis de conservação em Mecânica Clássica.
4.5- Equação de Hamilton-Jacobi.
5- Segunda variação, extremos fracos e fortes.
5.1- Funcionais quadráticos.
5.2- Segunda variação de um funcional.
5.3- Condições de extremos fracos.
5.4- Pontos conjugados
5.5- Condições de extremos fortes.
6- Formulação variacional da Teoria de Campos Clássica
6.1- Variação de funcionais envolvendo integrais múltiplas em regiões fixas.
6.2- Sistemas mecânicos contínuos: Corda vibrante, Membrana vibrante.
6.3- Variação de funcionais em regiões variáveis.
6.4- Teorema de Noether para campos.
6.5- Teoria Clássica de Campos
6.5.1- Exemplosde ações: Equação de onda, Klein Gordon, Eletromagnetismo.
6.5.2- Leis de conservação, Tensor Energia-Momento, Momento Angular.
7- Métodos variacionais diretos.
7.1- Minimização de seqüências.
7.2- Método de Ritz e método de diferenças finitas.
7.3- Problema de Sturm-Liouville.
8- Algumas aplicações
8.1- Propagação de perturbações.
8.2- Problemas de controle ótimo.
8.3- Mecânica Quântica.
Arfken G.: “Mathematical Methods for Physicists”, Academic Press (1985).
Arnol´d V.I.: “Métodos Matemáticos da Mecânica Clássica”, Mir (1987).
Butkov E.: “Física Matemática”, Guanabara Dois (1968).
Gelfand I.M. , Fomin S.V.: “Calculus of Variations”, Prentice Hall (1963).
Goldstine H.H.: “A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th century”, Springer Verlag (1980)
Lanczos C.: “The Variational Principles of Mechanics”, Univ. of Toronto Press (1970).
Leitão A.C.G.: “Cálculo Variacional e Controle Ótimo”, 23º CBM, IMPA (2001).
Leitmann G.: “The Calculus of Variations and Optimal Control. An Introduction”., Plenum Press (1981).
Troutman J.L.: “Variational Calculus and Optimal Control”, 2nd Ed. Springer Verlag ( 1996).
Yourgrau W. , Mandelstam S.: “Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory”, Dover (1968).