UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PRÉ-REQUISITO:
SEMESTRES: 2001.2
Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 06 (teóricas) + 02 (exercícios)
Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 108 (teóricas) + 36 (exercícios)
CURSO(S): Matemática, habilitação: Bacharelado em Matemática e Computação Científica
I - EMENTA: Espaços vetoriais, bases e dimensão, Sistemas de Equações Lineares, Ortogonalidade, Determinantes, Introdução ao Problema de Autovalores e Autovetores.
II - OBJETIVOS:
Propiciar ao aluno condições de:
Desenvolver sua capacidade de dedução.
Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.
Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.
Desenvolver seu espírito crítico e criativo.
Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso.
Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
Propiciar ao aluno condições de desenvolver sua capacidade de identificar e resolver modelos matemáticos através dos tópicos desenvolvidos na disciplina.
III- CONTEÚDO PROGRAMATICO:
0 – MATRIZES
Exemplos de matrizes: triangulares, quasi-triangulares. Matrizes de banda.
Matrizes esparsas.
Operações com matrizes. 4 diferentes formas de se fazer um produto de matrizes
Matrizes de Gauss. Fatoração PA=LU de uma matriz A. Posto e nulidade de uma matriz. Resolução de sistemas lineares em MATLAB. Matrizes de posto um.
Condição de uma matriz. Matrizes mal condicionadas. Exemplos de matrizes mal condicionadas no MATLAB.
1 - ESPAÇOS VETORIAIS
1.1. Subespaços vetoriais. Intersecção e soma de subespaços vetoriais. Soma direta de subespaços.
1.2. Sistema de m equações lineares em n variáveis. A forma escalonada de uma matriz m x n. Variáveis dependentes e independentes de um sistema linear.
1.3. Dependência linear entre vetores. Base e dimensão de um espaço vetorial.
1.4. Os quatro espaços fundamentais definidos a partir de uma matriz: espaço coluna, espaço linha, núcleo à direita e núcleo à esquerda.
1.5. Matriz de incidência de um grafo orientado. Grafos e Redes em Matemática Discreta.
2 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES
2.1. Matriz de uma transformação linear em relação a uma base do domínio e a uma base do contradomínio. Núcleo e imagem de uma transformação linear. Teorema do núcleo e da imagem de uma transformação linear.
2.2. Rotações, projeções e reflexões.
2.3. Composição de transformações lineares. Transformações lineares inversíveis. Isomorfismo e exemplos de espaços isomorfos. Operadores Lineares.
3 - ORTOGONALIDADE
3.1. Vetores ortogonais. Complemento ortogonal de um subespaço.
3.2. Produtos internos. Ângulo entre vetores em relação a um produto interno. Desigualdade de Schwarz.
3.3. Projeção de um vetor sobre um espaço. O problema de quadrados mínimos. Ajuste linear de dados por quadrados mínimos.
3.4. Bases ortonormais, matrizes ortogonais e o método de ortogonalização de Gram-Schmidt. Fatoração QR de uma matriz A
4 - AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UM OPERADOR LINEAR
4.1. Determinantes: Definição, propriedades, aplicações
4.2 Introdução ao Problema de autovalores
4.3 Polinômio Característico e o Cáculo do autoespaço.
BIBLIOGRAFIA:
Strang, Gilbert - Linear Álgebra and its Applications, 3. Ed..; Harcourt Brace Jovanovich, Orlando, 1988.
Strang, Gilbert – Introduction to Linear Álgebra, 3. Ed..; Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, 1993.
Leon, Steven J. – Álgebra Linear com Aplicações, 4. Ed.; LTC, Rio de Janeiro, 1999.
Lipschutz, Seymour - Algebra Linear, 3. Ed., Makron Books, São Paulo, 1994.
Boldrini, J. L. et al. - Algebra Linear, 3. Ed., HARBRA, São Paulo, 1984.
Lay, David C. - Álgebra Linear e suas Aplicações 2. Ed.; LTC, Rio de Janeiro, 1999
Hoffman, K. e Kunze, R. A., Algebra linear. 2. ed.- Rio de Janeiro: Livros Tecnicos e Cientificos, 1979.