O Teorema do Sanduíche aplicado a limites trigonométricos
Existem inúmeros limites trigonométricos que são
necessários para o cálculo das derivadas das funções
trigonométricas. Vamos começar colocando alguns limites
óbvios:
Cada uma das funções acima é contínua em Since each of the above functions is continuous at
x = 0, o valor do limite em
x = 0 é o valor da função em
x = 0; isto segue da definição de limite..
Pra calcularmos as derivadas de
sine e cosine precisamos calcular
Pra encontrarmos estes limites, vamos necessitar do seguinte teorema de
geometria
Se x é a medida do ângulo central
de um círculo de raio r, então a área
A do setor determinado por x é
A = r2x/2
Começamos olhando para
Se
estamos na situação da figura da esquerda.
Se A1 é a área do triângulo
AOP, A2 é a área do setor circular
sAOP, e A3 é a área do triângulo
AOQ,
A1 <
A2 < A3.
A área do triângulo é igual a 1/2 do produto da altura pela
base.
Segue que
Segue que
e portanto
o que é equivalente a
Estas três funções são facilmente plotaveis; em
amarelo temos a função constante 1, em roxo o cosseno e em
vermelho o sen(t)/t.
Do teorema do Sanduíche, segue que
Para encontrar
fazemos algumas manipulações algébricas e
reduções trigonométricas:
Portanto, segue que t
Resumindo temos:
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