Cálculo C

Lista I

Exercício 1   Um peso de $100\, Kg$ está colocado como na figura 1. Determine as tensões T₁, T₂ em ambos os fios.

 

Figure 1:

Exercício 2   Faça o mesmo que na primeira questão para a figura seguinte:

 

Figure 2:

Exercício 3   Considere uma força $\bf F$ atuando sobre um corpo rígido sobre um ponto $\bf P$ dada por um vetor $\bf\vec{v}$ como na figura 3. O torque (relativo a origem ) define-se como

$$\bf\tau=\bf r \times \bf F.$$

Encontre o torque em P se uma força de 13 Kg está aplicada como nafigura abaixo:

 

Figure 3:

Exercício 4   Encontre as equações dos planos determinados por:

1.

três pontos, $(-1,1,-1)\, (1, -1,2)\,(1,2,3).$

2.

pelo ponto (6, 5,-2) e paralelo a x+y-z=1.

3.

pelo ponto (1,4,5) e com normal $\vec{n}=(7,1,4)$.

4.

pela reta interseção dos planos x-z=1, e y+2z=3 e é perpendicular ao plano x+y-2z=1.

Exercício 5   Encontre as equações paramétricas dos planos do exercício anterior.

Exercício 6   Esboce o hodográfo das curvas:

1.

$x=\cos 4t,\; y=t,\; z={\text {\ sen }}4t$.

2.

$x=t^2-2,\: y=t^3,\: z=t^4+1.$

3.

$x=t,\:y=1/(1+t^2),\: z=t^2.$

4.

$x={\text {\ sen }}3t\cos t,\: y={\text {\ sen }}t,\: z={\text {\ sen }}5t.$.

Exercício 7  

Encontre os limites:

1.

$$\lim\limits_{t\to 0} (t,\cos t,2).$$

2.

$$\lim\limits_{t\to 1} \sqrt{t+3}\, \vec{i}+\frac{t-1}{t^2-1}\vec{j} +\frac{{\text {\ tg }}t}{t}\vec{k}.$$

3.

$$\lim\limits_{t\to +\infty} e^{-t}\vec{i}+\frac{t-1}{t+1}\vec{j}+ {\text {\ tg }}^{-1}t\vec{k}.$$

Exercício 8   Encontre as equações paramétricas das retas tangentes as curvas abaixo nos pontos dados:

1.

$x=t^2,\:y=t^2,\:z=t^3;\quad (1,1,1).$

2.

$x=1+2t,\; y=1+t-t^2,\; z=1-t+t^2\quad (1,1,1)$.

3.

$x=t\cos 2\pi t,\:y=t{\text {\ sen }}2\pi t,\:z= 4t,\quad (0,1/4,1)$.

Exercício 9   As curvas $\vec{r}_1(t)=(t,t^2,t^3)$ e $\vec{r}_2(t)=(t-1, 1-t^2,1-t^3)$se interceptam na origem. Encontre o ângulo de interseção neste ponto.

Exercício 10   Considere a curva que é a interseção do cilindro x²+y²=4e do cilindro z=x². Encontre uma parametrização para esta curva.

Exercício 11   Encontre o comprimento das curvas dadas:

1.

$\vec{r}(t)=(2t, 3{\text {\ sen }}t, 3\cos t)\quad a\leq t\leq b.$

2.

$\vec{r}(t)=(e^t,e^t{\text {\ sen }}t,e^t\cos t),\quad 0\leq t\leq 2\pi.$

3.

$\vec{r}(t)=t^2\vec{i}+2t\vec{j}+{\text {\ ln }}t\vec{k},\quad 1\leq t\leq e$.

Exercício 12   Um projetil é lançado da origem como na figura 5.

1.

Encontre a posição do projétil em função do tempo

2.

Determine o ângulo de elevaçào $\alpha$ que maximizará a distância sobre o plano inclinado.

 

Figure 4:

Exercício 13   Uma bola rola sobre uma mesa com velocidade $\bf v=2 m/s$. Esta mesa tem 3.5 m de altura.

1.

Determine o ângulo $\theta$ com o qual a bola bate no solo e também a velocidade vertical no ponto de impacto.

2.

Suponha que a bola rebate do solo com o mesmo ângulo, mas , devido a perda no impacto perde $20\%$ de sua velocidade ali. Determine o ponto do próximo impacto com o solo.

 

Figure 5:

Exercício 14  

Uma partícula se move com velocidade angular constante w ao longo de um círculo cujo centro está sobre a origem e de raio R. Suponha que o movimento é anti-horário e que a partícula está no ponto (R,0)quando t=0. A posição em função de t se escreve

$${\bf r}(t)=R\cos \omega t\vec{i}+R{\text {\ sen }}\omega t\vec{j}.$$

1.

Encontre a velocidade $\bf v$ e mostre que

$$<{\bf v}\times {\bf r}>=0$$

Conclua que $\bf v$ é tangente ao círculo e aponta na direção do movimento.

2.

Mostre que a velocidade $\vert{\bf v}\vert$ da partícula é a constante $\omega R$. O período T da partícula é o tempo de uma revolução completa. Conclua que

$$T=\frac{2\pi R}{\vert{\bf v}\vert}=\frac{2\pi}{\omega}.$$

3.

Encontre o vetor aceleração ${\bf a}$. Mostre que é proporcional a ${\bf r}$e que aponta para a origem. Uma aceleração com esta propriedade é chamada aceleração centrípeta. Mostre que

$$\vert{\bf a}\vert=R\omega^2.$$

4.

Suponha que a partícula tenha massa m. Mostre que a magnitude da força $\bf F$ requerida para produzir este movimento, chamada força centrípeta é

$$\vert{\bf F}\vert=\frac{m\vert{\bf v}\vert^2}{R}$$

Exercício 15   Seja a curva parametrizada $\gamma(t)=(t,t^2, \frac{t^3-1}{5})$, $t\in \ensuremath {\ensuremath{ \hbox{\matii R}}}$representando o movimento de um corpo. Suponha que no instante t=1 o corpo se desprende da curva e continua seu movimento sem forças atuando sobre ele. Determine o ponto e o

instante no qual o corpo encontra o plano x+y+z=10

Exercício 16   Encontre o ângulo entre os planos x+y+z=1 e x-2y+3z=1.

Exercício 17   Encontre uma fórmula para a distância de um ponto P₁=(x₁,y₁,z₁)e o plano ax+by+cz=d.

Exercício 18   Encontre as equações paramétricas da curva interseção dos planos x+y-z=2 e 3x-4y+5z=6.

Exercício 19   Encontre as equações paramétricas das retas tangentes as curvas abaixo nos pontos considerados:

1.

$x=t,\:y=\sqrt{2}\cos t,\:z=\sqrt{2}{\text {\ sen }}t;\quad P=(\pi/4,1,1)$

2.

$x=\cos t,\:y=3e^{2t},\:z=3e^{-2t};\quad P=(1,3,3).$

Exercício 20   Uma partícula se move de acordo com a lei

$${\bf r}(t)=t^2\vec{i}+t^2\vec{j}+t^3\vec{k}.$$

Encontre as componentes normal e tangencial da aceleração.

Exercício 21   Uma curva circular de raio R em uma auto-estrada é inclinada com ângulo de inclinação $\theta$ de modo que um carro

pode rodar por ela sem derrapagem quando nao há atrito nenhum entre o carro e a estrada. A velocidade máxima na qual um

carro pode atingir sem derrapagem denota-se $\bf v_R$. Suponha que um carro de massa m a está atravessando com velocidade $\bf v_R$. Duas forças agem sobre o carro: a força verticall, mg devido ao peso do carro e uma força $\bf F$exercida pela estrada e normal a ela.

(Veja figura)

A componente vertical de $\bf F$ equilibra o peso do carro, logo

$$\vert{\bf F}\vert \cos \theta=mg.$$

A componente horizontal de $\bf F$ produz a força centrípeta sobre o carro e portanto de acordo com a segunda lei de Newton e da

parte (d) do exercício anterior é:

$$\vert{\bf F}\vert{\text {\ sen }}\theta=\frac{m v_R^2}{R}.$$

1.

Mostre que

$$v_R^2=Rg{\text {\ tg }}\theta.$$

2.

Encontre $\bf v_R$ para uma curva circular de raio 400 m cujo ângulo de inclinação é 12⁰.

3.

Suponha que os engenheiros querem manter o ângulo mas desejam aumentar $\bf v_R$ em $50\%$. Qual deveria ser o raio da curva?

 

Figure 6:

Exercício 22   Uma estrada tem a configuração da parábola

120 y=x².

Um caminhão está carregado de tal modo que irá tombar se a componente normal de sua aceleração exceder 30. Que valores de

velocidade garantirão uma passagem sem desastre pelo vértice da parábola?