Lista II

Cálculo C

Nos próximos exercícios daremos algumas aplicações dos resultados obtidos sobre curvas, entre elas obteremos algumas parametrizações de curvas clássicas.

Exemplo 1 (A Catenária.)   O problema consiste em obter a curva que representa um fio inextensível de densidade de massa uniforme, suspenso sob ação apenas da gravidade como na figura 1

 

Figure 1: Catenária

Suponhamos a parametrização natural:

$$\gamma(t)=(t,y(t)).$$

Seja $\vec{T}$ a tensão em um ponto genérico e $\vec{T}_0$ e tensão no ponto mais baixo atingido pelo fio. Associemos a esse ponto o parâmetro t₀. Então como mostra a figura o equilíbrio de forças implica as equações:

$$T\cos \theta=-\Delta P$$

$$T{\text {\ sen }}\theta =-T_0.$$

onde $T=\parallel \vec{T}\parallel$ e $T_0=\parallel \vec{T}_0\parallel$. Agora usamos a fórmula do comprimento para obtermos a expressão do peso do pedaço de fio considerado de t₀ até t.

$$\Delta P=g\lambda \int\limits_{t_0}^{t}\parallel\dot{\gamma}(s)\parallel\,ds.$$

Dividindo uma equação pela outra obtemos

$$T_0 {\text {\ tg }}\theta=\lambda g\int\limits_{t_0}^{t}\parallel\dot{\gamma}(s) \parallel \,ds.$$

Usando que ${\text {\ tg }}\theta=\dot{y}(t)$, podemos escrever

$$\dot{y}(t)=\frac{1}{T_0}\lambda g\int\limits_{t_0}^{t}\parallel \dot{\gamma}(s)\parallel \,ds.$$

Derivando esta expressão em relação a t obtemos:

$$\ddot{y}(t)=\frac{1}{T_0}g\lambda \parallel\gamma(t)\parallel.$$

Mais adiante saberemos como encontrar uma expressão para y(t). Por enquanto por verificação o aluno pode se certificar que

$$y(t)=\frac{T_0}{\lambda g} \cosh \frac{\lambda g}{T_0}t$$

serve e portanto que

$$\gamma(t)=(t,\frac{T_0}{\lambda g} \cosh \frac{\lambda g}{T_0}t).$$

Exercício 1   Determine a curva descrita por um fio de comprimento 120m, suspenso entre dois postes distando 100m e tal que a altura de um poste seja 90m e a do outro 100.

Exemplo 2 (A Tractriz)   Neste exemplo consideramos um objeto colocado sobre o ponto do plano (a,0) e que está sendo puxado na direção do eixo y positivo como na figura. através de uma corrente de comprimento a.

 

Figure 2: Tractrix clássica

Da figura 2 obtem-se facilmente que se a curva está parametrizada via $\gamma(x)=(x,y(x)).$ então

$$\dot{y}(x)=-\frac{d}{x}$$

e usando trigonometria temos que $d=\sqrt{a^2-x^2}$ e finalmente

$$\dot{y}(x)=-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}$$

Por integração encontramos a expressão de y e portanto de $\gamma$:

$$y(x)=-(a^2-x^2)^{1/2}+a\log (\frac{a+(a^2-x^2)^{1/2}}{x}$$

Exercício 2   Modele o mesmo problema com as seguintes condições : o objeto se encontra no ponto (0,a) e está sendo puxado na direção do eixo X positivo

Exercício 3   Considere uma criança andando no plano e arrastando seu brinquedo que está conectado à criança por uma barra rígida de comprimento a. Seja (x(t),y(t)) a posição do brinquedo em cada instante de tempo. Determine as equações que regem este problema. Seja (X(t), Y(t)) a posição do menino. O seguinte desenho pode ajudá-lo muito.

 

Figure 3: A criança e o brinquedo

Exercício 4   Neste exercício voce deverá modelar o seguinte problema: considere um corredor seguindo sua trajetória que a partir de determinado momento passa a ser perseguido por um cão que suporemos ter velocidade escalar constante. Seja (X(t),Y(t)) a trajetória do corredor que é um dado de seu problema, e seja (x(t),y(t)) a tragetória do cão que estava em (x₀,y₀) no instante t=0 quando começou a perseguição. Seja $\omega$ o módulo da velocidade do cão. A hipótese fundamental é que a velocidade do cão está sempre apontando para o corredor. Modele esta situação.

Exercício 5   Encontre uma parametrização para a astróide cuja equação cartesiana é:

x^2/3+y^2/3=a^2/3

Exercício 6   A curva de Agnesi é uma curva em forma de sino que é definida como se segue: considere um círculo de raio a e centro em (0, a) como na figura.

 

Figure 4: Curva de Agnesi

Para cada $0<\theta<\pi$ considere a reta com inclinação ${\text {\ tg }}\theta$passando pela origem. Esta reta intercepta o círculo no ponto B e também intercpta a reta y=2a em um ponto A. O ponto da curva de agnesi correspondente tem como coordenadas x a coordenada x de A e y a coordenada y de B. Determine uma parametrização para a curva de Agnesi usnado como parâmetro o ângulo $\theta$.

Solução:

$$\gamma(\theta)=(2a\frac{\cos \theta}{{\text {\ sen }}\theta},2a{\text {\ sen }}^2 \theta).$$

Exercício 7   Uma partícula se move em um disco em direção à fornteira, e sua posição é dada por

$$\vec{r}(t)=t\vec{{\it\bf b}}$$

onde $\vec{{\bf b}}$ é um vetor unitário, que está rodando juntamente com o disco com velocidade angular constante $\omega$ no sentido anti-horário (Fig 5). Encontre aceleração $\vec{{\bf a}}$ da partícula.

 

Figure 5: Aceleração de Coriolis

Solução: Pela rotação podemos escrever $\vec{{\it\bf b}}$ da forma,

$$\vec{{\it\bf b}}(t)=\cos \omega t\,\vec{{\bf i}}+{\text {\ sen }}\omega t\, \vec{{\bf j}}.$$

Derivando obtemos a velocidade

$$\vec{{\it\bf v}}=\vec{{\it\bf r}}'=\vec{{\it\bf b}}+t\:\vec{{\it\bf b}}'.$$

Obviamente $\vec{{\it\bf b}}$ é a velocidade da partícula relativamente ao disco, e $t\vec{{\it\bf b}}'$ é a velocidade adicional devida à rotação. Derivando mais uma vez, obtemos a aceleração:

$$\vec{{\it\bf a}}=\vec{{\it\bf v}}=2\vec{{\it\bf b}}'+t\,\vec{{\it\bf b}}''.$$

É fácil ver que $\vec{{\it\bf b}}''=-\omega^2\vec{{\it\bf b}}$ e portanto este último termo na equação acima aponta para o centro do disco e portanto é a aceleração centípeta devida à rotação. O termo mais interessante é $\vec{{\it\bf b}}'$, chamado de aceleração de Coriolis que resulta da interação da rotação do disco com o movimento da partícula Ele tem a direção de $\vec{{\it\bf b}}'$isto é é tangencial à fronteira do disco e em referência ao sistema fixo XY aponta na direção da rotação.

Exercício 8   Encontre a aceleração de um projétil P se movendo ao longo de um meridiano M de uma esfera em rotação com velocidade constante relativa à esfera, que rota com velocidade angular constante $\omega$.

 

Figure 6: Superposição de 2 rotações

O movimento de P em M pode ser descrito na forma

$$\vec{{\it\bf r}}(t)-R\cos \gamma t\vec{{\it\bf b}}+ R{\text {\ sen }}\gamma t \,\vec{{\it\bf k}}$$ (1)

onde R é o raio da esfera, $\gamma(>0)$ a velocidade angular de P sobre M, $\vec{{\it\bf b}}$ um vetor horizontal unitário no plano de M (Fig 6), e $\vec{{\it\bf k}}$é o vetor unitário na direção de Z-positiva. Como $\vec{{\it\bf b}}$roda juntamente com a esfera, tem a forma

$$\vec{{\it\bf b}}=\cos \omega t\,\vec{{\it\bf i}}+{\text {\ sen }}\omega t\,\vec{{\it\bf j}}$$ (2)

onde $\omega(>0)$ é a velocidade angular da esfera. Derivando a equação 1 obtemos a velocidade

$$\vec{{\it\bf v}}=\vec{{\it\bf r}}'=R\cos \gamma t\, \vec{{\i... ... t\,\vec{{\it\bf b}}+\gamma R\cos \gamma t \,\vec{{\it\bf k}}.$$ (3)

Derivando mais uma vez obtemos a aceleração

$$\vec{{\it\bf a}}=\vec{{\it\bf v}}'=R\cos \gamma t\, \vec{{\i... ...f b}}-\gamma^2 R {\text {\ sen }}\gamma t \,\vec{{\it\bf k}},$$ (4)

onde por  2

$$\vec{{\it\bf b}}'=-\omega {\text {\ sen }}\omega t \,\vec{{\it\bf i}}+ \omega \cos \omega t \,\vec{{\it\bf j}}$$ (5)

$$\vec{{\it\bf b}}''=-\omega^2 \cos \omega t \,\vec{{\it\bf i}}... ...en }}\omega t \,\vec{{\it\bf j}}=-\omega^2\, \vec{{\it\bf b}}.$$ (6)

De  1 vê-se que a soma dos últimos dois termos em  3 é igual $-\gamma^2 \,\vec{{\it\bf r}}$, e  4 se torna

$$\vec{{\it\bf a}}=-\omega^2 R \cos \gamma t\, \vec{{\it\bf b}... ...en }}\gamma t \,\vec{{\it\bf b}}'-\gamma^2 \,\vec{{\it\bf r}}.$$ (7)

O primeiro termo à direita é aceleração centrípeta causada pela rotação da esfera, e o último termo é a aceleração centrípeta resultante da rotação do ponto P. O segundo termo denomina-se aceleração de Coriolis

$$\vec{{\it\bf a}}_c=-2\gamma R {\text {\ sen }}\gamma t\, \vec{{\it\bf b}}'.$$

Exercício 9  

Seja p um ponto numa circunferência que rola tangenciando dentro uma outra circunferência com diâmetro o dobro do diâmetro menor. Identifique em termos bem simples a imagem da curva traçada por p.

Resposta: p percorre um diâmetro da circunferência maior.

Exercício 10   Sejam f(t)=3t²-2t³ para $t \in [0,1]$, e

$$c(t)=\begin{cases} (1-f(t))A + f(t)B & \quad \text{para} \qu... ...t-3))D +f(t-3)A &\quad\text{para}\quad t \in [3,4] \end{cases}$$

1.

Mostre que c é uma parametrização derivável do polígono com vértices A,B, C, e D.

2.

Construa uma parametrização derivável do pentágono regular centrado em (0,0), com uma vértice em (1,0).