Lista IV

Cálculo C

Exercício 1   Calcule as seguintes integrais de linha:

1.

$\int\limits_{\mathcal{C}} \, xy \,ds,$ onde $\mathbf{\mathcal{C}}$ é o contorno do quadrado |x|+|y|=a (a>0).

2.

$\int\limits_\mathcal{C} \, y^2 \,ds,$ onde $\mathcal{C}$ é o primeiro arco da ciclóide $x=a(t-{\text {\ sen }}t)$, $y=a(1-\cos t)$.

3.

$\int\limits_\mathcal{C} \, x+y \,ds,$ onde $\mathcal{C}$ é é o laço da direita da leminescata $r^2=a^2\cos 2\phi$.

Exercício 2   Encontre a área da superfície lateral do cilindro parabólico $y=\frac{3}{4}x^2$ limitado pelos planos z=0, x=0, z=x, y=6.

Exercício 3   Encontre a massa do fio de arame colocado sobre a elipse

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

se a densidade linear decada ponto é $\rho(x,y)=\vert y\vert$.

Exercício 4   Determine as coordenadas do centro de gravidade do meio arco da ciclóide da letra (b) do exercício  1.

Exercício 5   Determine a força exercida por uma massa M distribuida com densidade uniforme sobre o círculo x²+y²=a², z=0 sobre uma massa m colocada no ponto P=(0,0,b).

Exercício 6   Calcule as seguintes integrais de linha:

1.

$\int\limits_{\mathcal{C}}\, (y-x)dx+(z-x)dy+(x-y)dz$, onde $\mathcal{C}$ é uma volta da hélice:

$$\begin{cases} x&=a \cos t,\\ y&=a {\text {\ sen }}t,\\ z&=b\,t \end{cases}$$

percorrida na direção do aumento do parâmetro.

2.

$\oint\limits_{\mathcal{C}}\, ydx+zdy+xdz$, onde $\mathcal{C}$ é o círculo:

$$\begin{cases} x&=R\cos \alpha\, \cos t,\\ y&=R\cos \alpha\, {\text {\ sen }}t,\\ z&=R{\text {\ sen }}\alpha \end{cases}$$

Exercício 7   Seja $\ensuremath{ \boldsymbol{F}}\colon \ensuremath {\ensuremath{ \hbox{\matii R}}^3 }\rightarrow \ensuremath {\ensuremath{ \hbox{\matii R}}^3 }$ um campo de forças e $\gamma\colon [a,b]\rightarrow \ensuremath {\ensuremath{ \hbox{\matii R}}^3 }$ uma curva parametrizada tal que $\ensuremath{ \boldsymbol{F}} (\gamma(t))=m\gamma''(t)$. Mostre que o trabalho $\ensuremath{ \boldsymbol{W}}$realizado pelo campo ao mover uma partícula de massa m ao longo de $\gamma$ de $\gamma(a)$ até $\gamma(b)$ é

$$\ensuremath{ \boldsymbol{W}} =\frac{1}{2}m\,v(b)^2-\frac{1}{2}m\,v(a)^2$$

onde $v(t)=\vert\vert \gamma'(t)\vert\vert$. Deste modo o trabalho realizado corresponde a variação da energia cinética da partícula.

Exercício 8   Um homem de 160 lb carrega uma lata de tinta que pesa 25 lb para cima via uma escada em espiral que cerca um silo de raio 20 ft. Se o silo tem 90 ft de altura e o homem faz três voltas completas, determine o trabalho realizado pelo homem contra a gravidade.

Exercício 9   Um arame tem a forma da curva obtida como interseção da porção da esfera

$$x^2+y^2+z^2=4,\quad y\geq 0$$

com o plano

x-y+2z=1.

sabendo-se que a densidade em cada ponto do arame é dada por $\rho(x,y,z)=xy$, calcule a massa total do arame.

Exercício 10   Um tanque na forma de um cone invertido tem 10m de altura e 10m de diâmtro no topo. Está com água até a altura 5m. Qual o trabalho realizado pra se bombear água de um orifício circular na base de área A até preencher o tanque?

Exercício 11   Qual é o valor da integral de um campo gradiente ao longo de uma curva fechada?

Exercício 12   Um ciclista sobe de bicicleta uma montanha pelo caminho mostrado na figura 1. Ele faz uma revolução completa ao redor da montanha para alcançar o topo com ângulo de subida sempre constante. Ao longo do caminho ele exerce uma força descrita pelo campo vetorial

$$\ensuremath{ \boldsymbol{F}} (x,y,z)=z^2\,\ensuremath{ \mathb... ...3y^2\, \ensuremath{ \mathbf{j}} +2z\,\ensuremath{ \mathbf{k}} .$$

Qual é o trabalho realizado pelo ciclista para subir de A a B.

 

Figure 1: Ciclista subindo a ladeira

Exercício 13   Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superfície do cilindro

x²+y²=4

comprendida entre os planos z=0 e x+y+z=2 com $z\geq 0$. Se o metro quadrado de zinco custa M reais, calcule o preço total da peça.

Exercício 14   Calcule as integrais:

1.

$\int\limits_\gamma \, yz\, dx+xz\,dy+xy\,dz$ sobre a hélice $x=a\cos t$, $y=a{\text {\ sen }}t$ e z=kt com t variando de 0 a $2\pi$. Resp:0

2.

$\int\limits_C ydx-xdy$ sobre a elipse $x=a\cos t$, $y=b{\text {\ sen }}t$. Resp: $-2\pi ab$.

Exercício 15   Calcule o volume de líquido que passa através da curva fechada

x²+y²=1

pelo campo de velocidades do líquido cuja densidade é $\rho=const$ dado por

$$\ensuremath{ \mathbf{F}} (x,y)=(3x^2-y^2,x^2+3y^2).$$