Lista V

Cálculo C

Exercício 1   Calcule

$$I=\iint\limits_S f\,dS\quad {\text e} \;\; J=\iint\limits_S \vec{g}.\vec{n}\,dS$$

sendo S a porção do parabolóide z=x²+y², entre os planos z=0 e z=3 (face externa), e

$$f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{1+4(x^2+y^2)}}\quad \vec{g}(x,y,z)=y\vec{i}+2x\vec{j}+3xy\vec{k}$$

Exercício 2   Determine

$$I=\iint\limits_S g\,dS\quad {\text e} \;\; J=\iint\limits_S \vec{h}.\vec{n}\,dS$$

nos seguintes casos:

1.

g(x,y,z)=xy, $\vec{h}(x,y,z)= z\vec{i}+2x\vec{j}+2y\vec{k}$ e S/'e a porção do plano x+y+z=5 no $1^{\text o}$ octante , com a normal apontando para fora do tetraedro de vértices $(0,0,0),\;(5,0,0),\;(0,5,0),\;(0,0,5).$

2.

g(x,y,z)=xye^z, $\vec{h}(x,y,z)=(zy,zx,e^z)$ e S é a face externa da porção do cilindro x²+y²=3 entre os planos z=1 e z=2.

Exercício 3   Determine $I=\iint\limits_S f\,dS$ sendo

$$f(x,y,z)=\frac{x}{\sqrt{1+4y}}$$

e S a porção da superfície y=x² entre os planos x=0, x=1, z=0 e z=2.

Exercício 4   Dada a superfície $\vec{r}(u,v)= u\vec{i}+(a{{\text {\ sen }}}\, v)\vec{j}+(a\cos v)\vec{k}$com a>0, $u\in\ensuremath {\ensuremath{ \hbox{\matii R}}}$, $v\in[0,2\pi]$, determine a área da porção desta superfície compreendida entre os planos x=0 e x=3. Faça um esboço da superfície.

Exercício 5   Calcule

$$I=\iint\limits_S xy\,\,dS$$

sendo S a porção do cone -x²+z²=y² entre os planos z=1 e z=2.

Exercício 6   Uma lâmina tem a forma da porção do plano x+y+z=5 interior ao cilindro x²+y²=9 e contida no $1^{\text o}$ octante.

1.

Determine a área da lâmina.

2.

Se a densidade em cada ponto é proporcional à soma das distâncias do ponto aos planos coordenados, determine a massa da lâmina e as coordenadas do centro de massa.

3.

Nas condições de (b), determine a momento de inércia em relação a cada dos um dos eixos coordenados.

Exercício 7   Determinar a área de S:

1.

Se S é a superfície $a^2z^2=b^2(x^2+y^2),\:0<a\leq z\leq b$.

2.

Se S é a porção da esfera $x^2+y^2=a^2-z^2\;(a>0)$ interior ao cilindro x²+y²=ay.

3.

Se S é a porção do cone z²=3(x²+y²) entre o plano z=0 e o parabolóide z=x²+y².

4.

Se S é a porção do parabolóide 2z=x²+y² entre o plano z=0 e a esfera $x^2+y^2=(\sqrt{8}+z)(\sqrt{8}-z).$

Exercício 8   Calcule

$$I=\iint\limits_S \vec{f}.\vec{n}\,\,dS$$

sendo :

1.

S o hemisfério superior da esfera x²+y²+z²=4 (face interna) e $\vec{f}(x,y,z)=y\vec{i}+x\vec{j}.$

2.

S a superfície externa do cubo $-1\leq x\leq 1,\; \;-1\leq y\leq 1,\;0\leq z\leq 2$ e $\vec{f}(x,y,z)=(yx^2, 2y-x,y^2z).$

3.

S a face externa da porção do cone x²/4+y²/4-z²/9=0 compreendida entre os planos z=0 e z=3 com

$$\vec{f}(x,y,z)=(x,y,\frac{4}{3}z).$$

4.

S o elipsóide

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{9}=1\quad \text{(face\; interna)}$$

e $\vec{f}(x,y,z)=(y,z,x).$

5.

S a face interna da superfície que delimita o sólido cujas faces estão nos planos x=3/2, x=-3/2, y=5/2, y=-5/2, e no elipsóide x²/4+y²/9+z²/16=1 e

$$\vec{f}(x,y,z)=e^{yz}\vec{i}+e^{xz}\vec{j}+e^{xy}\vec{k}$$

Exercício 9   Sejam S a esfera x²+y²+z²=a² (a>0) e

$$\vec{f}(x,y,z)=({{\text {\ sen }}}\,e^x+\cos yz,\, e^{{{\text {\ sen }}}\, x}- \tan\,xz,\,ln\,(1+e^z))$$

e

$$\vec{g}(x,y,z)=(ln(1+y^2)+{\text {\ sen }}e^x, \tan (x^2+y^2)+e^{{\text {\ sen }} y},xy+ln(1+e^z)).$$

Mostre que

$$I=\iint\limits_S \vec{f}.\vec{n}\,\,dS= \iint\limits_S \vec{g}.\vec{n}\,\,dS$$

se $\vec{n}$ é o mesmo nas duas integrais.

Exercício 10   Seja S a porção do plano z-y=0 interior ao cilindro (y-1)²+x²=1. Se um fluido de densidade $\rho(x,y,z)=x+1$ e velocidade $\vec{v}(x,y,z)=xyz\,\vec{k}$ atravessa S, determine a massa de fluido que passa através de S por unidade de tempo.

Exercício 11   Sejam T o sólido limitado pelos planos x=0, y=0 e z=0, pela esfera x²+y²+z²=25 e pelo cilindro x²+y²=13, e $\vec{f}(x,y,z)=(x^2,x+z,xy)$. Determine

$$I=\iint\limits_S \vec{f}.\vec{n}\,\,dS$$

onde S é a superfície delimitante de T (face externa).

Exercício 12   Seja T o sólido delimitado pela esfera x²+y²+z²=9 e pelo parabolóide z=x²+y². Se S é a superfície que limita T, e

$$\vec{f}(x,y,z)=(xz,xz,y^2+e^x)$$

determine

$$I=\iint\limits_S \vec{f}.\vec{n}\,\,dS.$$

Considere as duas possibilidades.

Exercício 13   Uma lâmina tem a forma da porção da superfície

$$z=\sqrt[4]{x^2+y^2}$$

comprendida entre os palnos z=1 e z=2.

1.

Determine a área da lâmina.

2.

Se a densidade em cada ponto é inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto ao plano xy, determine a massa da lâmina.

Exercício 14   Uma lâmina tem a forma da superfície z=(x²+y²)^3/2, $0\leq z\leq \sqrt{8}$. Se a densidade em cada ponto é proporcional ao quadrado da distância do ponto ao eixo z, determine a massa da lâmina.

Exercício 15   Sendo S a porção do parabolóide y=3-(x²+y²) tal que $y\geq 0$, calcule

$$I=\iint\limits_S f\,\,dS$$

nos seguintes casos:

1.

f(x,y,z)=x²+z²+1.

2.

f(x,y,z)=3y

Exercício 16   Seja T a porção do cilindro de raio 1, e com eixo coincidente com o eixo z, interior à esfera x²+y²+z²=9². Se S é a superfície que delimita T (face externa) e

$$\vec{f}(x,y,z)=(x+e^{yz},y+e^{{{\text {\ sen }}}\,x},z-e^{\cos y}),$$

determine

$$I=\iint\limits_S \vec{f}.\vec{n}\,\,dS.$$

Exercício 17   Sendo S a superfície externa do sólido no $1^{\text o}$ octante limitado por x=0, y=0, z=0, z=3 e x²+y²=1, e

$$\vec{f}(x,y,z)=(xyz^2)\vec{i}+(yx^2z)\vec{j}-(\frac{x^2z^2}{2})\vec{k}$$

determine

$$I=\iint\limits_S \vec{f}.\vec{n}\,\,dS.$$

Exercício 18   Determine o volume do sólido limitado pelas esferas de raios 1 e 2 (centradas na origem) e pelo cone $\phi=\pi/4,\;z\geq 0 .$

Exercício 19   Determine o volume do sólido limitado pelos cones $\phi=\pi/3$ e $\phi=\pi/6$ e pelos planos z=1 e z=5.

Exercício 20   Determine o volume do sólido limitado pela esfera x²+y²+z²=1 e pelo cone z²=x²+y² (considere as duas possibilidades).

Exercício 21   Sejam S a porção do parabolóide z=4-x²-y² situada no $1^{\text o}$ octante e C o bordo de S percorrido de (0,0,4)a (2,0,0) a (0,2,0) a (0,0,4). Sendo

$$\vec{f}(x,y,z)=(z,z,y),$$

determinar

$$I=\oint\limits_C \vec{f}.\,d\vec{r}$$

Exercício 22   Calcule

$$I=\oint\limits_C \vec{f}.\,d\vec{r}$$

onde

$$\vec{f}(x,y,z)=(x+y)\vec{i}+(y+z)\vec{j}+(x+z)\vec{k}$$

e C é a curva $x=\cos t$, $y={{\text {\ sen }}}\,t$ , z=1 ( $0\geq t\geq 2\pi$).

Exercício 23   Determine

$$I=\oint\limits_C \vec{f}.\,d\vec{r}$$

sendo C o contorno da porção do plano 6x+3y+2z=24 contida no $1^{\text o}$ octante, percorrido no sentido de (4,0,0)a (0,8,0) a (0,0,12) a (4,0,0) e

$$\vec{f}(x,y,z)=yz\vec{i}+xz\vec{j}+2xy\vec{k}.$$

Exercício 24   Determine

$$I=\oint\limits_C \vec{f}.\,d\vec{r}$$

sendo C o contorno da porção do cone $z=2\sqrt{x^2+y^2}$ situada na região $z\geq 1$, $z\leq 4$, $y\geq 0$, percorrido de (1/2,0,1) a (-1/2,0,1)a (-2,0,4) a (2,0,4) a (1/2,0,1) e

$$\vec{f}(x,y,z)=(z^2,xy,y^2).$$

Exercício 25   Sendo

$$\vec{f}(x,y,z)=yz\vec{i}+y\vec{j}+xy\vec{k}$$

e C a curva contida no cilindro x²+y²=1 como no desenho a seguir,

 

Figure 1: Curva relativa ao ex.26

determine

$$I=\oint\limits_C \vec{f}.\,d\vec{r}$$

1.

diretamente

2.

usando o teorema de Stokes.

Exercício 26   Determine

$$I=\oint\limits_C \vec{f}.\,d\vec{r}$$

sendo C o contorno a seguir esquematizado e

$$\vec{f}(x,y,z)=(y^2z^2,x^2z^2,x^2y^2)$$

 

Figure 2: Curva relativa ao ex.27