Cálculo C

Lista 7

Exercício 1   Encontre as áreas das superfícies:

1.

S o helicóide definido pela parametrização:

$$x=r\cos \theta,\quad y=r{\text {\ sen }}\theta, \quad z=\theta$$

com $0\leq r\leq 1$, $0\leq \theta\leq 3\pi$

2.

S é o toro representado parametricamente via:

$$\begin{align*}x=&(R+\cos \phi)\cos \theta\\ y=&(R+\cos \phi)\sin \theta\\ z=&\sin \phi \end{align*}$$
com $0\leq \theta\leq 2\pi$ e $0\leq \phi \leq 2\pi$ e R>1.

Exercício 2   Encontre a área da região limitada por um arco de ciclóide $x=a(\theta-{\text {\ sen }}\theta)$, $y=a(1-\cos \theta)$, onde a>0 e $0\leq \theta\leq 2\pi$ e o eixo dos x.

Exercício 3   Determine $I=\iint\limits_S f\,dS$ sendo

$$f(x,y,z)=\frac{x}{\sqrt{1+4y}}$$

e S a porção da superfície y=x² entre os planos x=0, x=1, z=0 e z=2.

Os próximos dois exercícios tratam do significado do rotacional. Imagine o campo representando um campo de velocidades de um fluido. Então quando o rotacional é diferente do vetor nulo, se colocassemos pás acopladas a um eixo, dispostas como em um catavento sobre o ponto com o eixo na direção do rotacional observaríamos estas pás girarem ao líquido se locomover segundo a trajetória daquele ponto.

Exercício 4   Suponha que a água está fluindo em círculos segundo a lei: em um ponto (x,y,z) no tempo t tem coordenadas $x=r\cos \omega t$, $y=r{\text {\ sen }}\omega t$ z=z, onde $\omega$ é a velocidade angular que supomos constante. Determine o campo, verifique que este campo representa aproximadamente o movimento circular da água que está saindo de uma pia (por exemplo), e calcule o rotacional deste campo. Interprete seu resultado.

Exercício 5   Faça o mesmo do exercício anterior para os campos $\vec{V_1}=v_0e^{-y^2/\lambda^2}\vec{j}$ e $\vec{V_2}=v_0e^{-x^2/\lambda^2}\vec{j}$, onde v₀ e $\lambda$ são constantes . Faça um esboço das trajetórias dos campos. Interprete.

Exercício 6   A força eletromotiva $\xi$ em um circuito C é igual a circulação do campo elétrico ao longo de C:

$$\xi=\oint\limits_C E\centerdot ds$$

Faraday descobriu que em um circuito estacionário uma força eletromotiva é induzida pela variação do fluxo magnético. Isto é

$$\xi=-\frac{d\Phi}{d\,t},$$

onde

$$\Phi=\iint\limits_S B\centerdot\vec{n}\, dS,$$

e S é uma superfície que tem como fronteira C. Use o teorema de Stokes para provar que

$$\nabla\times E=-\frac{\partial B}{\partial t}$$

que é uma das equações de Maxwell.

Exercício 7   Determine o valor de

$$I=\int\limits_C F\centerdot ds$$

onde

$$F=(e^{-y}-ze^{-x})\vec{i}+(e^{-z}-xe^{-y})\vec{j}+ (e^{-x}-ye^{-z})\vec{k}$$

e C é o caminho descrito por

$$\left . \begin{align*} &x=\frac{1}{\ln 2} \ln(1+p),\\ &y={\... ... &z=\frac{1-e^p}{1-e}, \end{align*}\right\}\quad 0\leq p\leq 1$$ (1)

do (0,0,0) até (1,1,1).

Exercício 8   Neste exerçício provaremos o seguinte teorema: Seja G um campo no $\ensuremath {\ensuremath{ \hbox{\matii R}}} ^3$ tal que $\text{div}\,G=0$ então existe H tal que $G=\nabla \times H$.

1.

Mostre que $G=\nabla \times H$ implica que div G=0.

2.

Para mostrar que div G=0 implica que podemos escrever $G=\nabla \times H$ defina H por:
$$\begin{align*}H_x&=0,\\ H_y&=\int\limits_{x_0}^x G_z(s,y,z)\,ds,\\ H_z&=-\int\limits_{x_0}^x G_y(s,y,z)\,ds +\int\limits_{y_0}^y G_x(x_0,s,z)\,ds, \end{align*}$$
onde x₀ e y₀ são constantes arbitrárias. Mostre que $G=\nabla \times H$.

Exercício 9   Calcule as seguntes integrais:

1.

$$\oint\limits_C x^3y\,dx+xy\,dy,$$

onde C é o quadrado com vértices (0,0), (2,0), (2,2), (0,2) no sentido anti-horário.

2.

$$\oint\limits_C (x^2+y)\,dx-(3x+y^3)\,dy,$$

onde C é a elipse x²+4y²=4 considerada no sentido anti-horário.

3.

$$\int\limits_S F\centerdot dS$$

onde $F(x,y,z)=(x^3+yz^2{\text {\ sen }}x, 4y^3+y^2z^2\cos x, 9z^3-yz^3\cos x)$e S é o elipsóide

x²+4y²+9z²=36

com a normal escolhida para fora.

Exercício 10   Suponha que F seja tangente a uma superfície S fechada em cada um de seus pontos e que $S=\partial \Omega$. Prove que

$$\iiint\limits_\Omega (\text{div} F)\,dV=0$$

Exercício 11   Seja S a superfície da esfera unitária. Seja F um campo vetorial e F_r sua componente radial. Prove que

$$\iint\limits_S F\centerdot \vec{n}\, dS=\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^\pi F_r{\text {\ sen }}\phi\, d\phi d\theta.$$

Exercício 12   Seja S a porção do plano z-y=0 interior ao cilindro (y-1)²+x²=1. Se um fluido de densidade $\rho(x,y,z)=x+1$ e velocidade $\vec{v}(x,y,z)=xyz\,\vec{k}$ atravessa S, determine a massa de fluido que passa através de S por unidade de tempo.

Exercício 13   Para uma distribuição de cargas estacionária e distribuição de corrente com divergente zero, os campos elétrico e magnético satisfazem:

$$\nabla\times E=0,\;\;\;\nabla\centerdot H=0,\;\;\; \nabla\centerdot J=0,\;\;\;\nabla\centerdot E=\rho,\;\;\; \nabla\times H=J.$$

Aqui $\rho=\rho(x,y,z)$ e J(x,y,z) são assumidas conhecidas. A radiação produzida pelos campos através de uma superfície S é determinada pelo campo densidade de fluxo de radiação , chamado o campo de Poynting,

$$P=E\times H.$$

1.

Se S é uma superfície fechada, mostre que o fluxo de radiação através de S dado pelos campos acima é

$$\iint\limits_S P\centerdot dS=-\iiint\limits_V E\centerdot J\,dV,$$

onde V é a região delimitada por S.

2.

Exemplos de tais campos são

$$E(x,y,z)=z\vec{j}+y\vec{k}\;\;\text{e} \;H(x,y,z)=-xy\vec{i}+x\vec{j}+yz\vec{k}.$$

Encontre o fluxo do campo de Poyning através do hemisfério $x\geq 0$ da esfera x²+y²+z²=25 com a normal apontando para a parte positiva do eixo y.