Cálculo C

Lista 8

Exercício 1   Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:

1.

$\dot{y}+y\cos x={\text {\ sen }}x\cos x$     R: $y=Ce^{-{\text {\ sen }}x}+ {\text {\ sen }}x -1$.

Linear

2.

$xdx=(\frac{x^2}{y}-y^3)dy$    R: x²+y⁴=Cy².

Fator integrante de y

3.

$y=x\dot{y}+\dot{y}\ln \dot{y}$    R: $y=Cx+C\ln C$.

Equação de Lagrange

4.

(2xy²-y)dx+xdy=0    R: $y=\frac{x}{x^2+C}$.

Fator integrante de y

5.

$\dot{y}=\frac{3x^2}{x^3+y+1}$    R: x³=Ce^y-y-2.

$3x^2\dot{x}-x^3=1+y$ Bernoulli com x=X(y), ou fator integrante em y.

6.

$y\dot{y}+y^2=\cos x$    R: y²=Ce^-2x.

Bernoulli.

7.

e^ydx+(xe^y-2y)dy=0    R: xe^y-y²=C.

Exata

8.

$y=x\dot{y}+1/\dot{y}^2$    R: y=y=Cx+1/C².

Lagrange

9.

xdy+ydx=y²dx    R:xy=C(y-1).

Separável.

10.

$2\dot{y}+ y^2+1/x^2=0,\quad R:\;(C-\ln \vert x\vert)(1-xy)=2.$

Torna-se homogênea via $x=z^\alpha$.

11.

$(x^2+y^2)dx-xydy=0,\quad R:\;\ln \vert x\vert-\frac{y^2}{2x^2}=C.$

Homogênea ou fator integrante de x.

12.

(x²+2xy³)dx+(y²+3x²y²)dy=0;

Exata.

13.

(x³-3xy)dx+(x²+3)dy=0;

Fator integrante de x.

Exercício 2   Achar as soluções das seguintes equações para as condições iniciais indicadas:

1.

$\dot{y}=\frac{y+1}{x},$    y=0 quando x=0; R: y=x-1

Separável.

2.

$e^{x-y}\dot{y}=1$,    y=1quando x=1; R: y=x.

Separável.

3.

$e^y(\dot{y}+1)=1$,    y=0quando x=0;

Separável. R: y=0.

4.

$\dot{y}+y=\cos x$,      $y=1/2\;\;\text{quando} \;\; x=0$; R: $y=1/2({\text {\ sen }}x+\cos x)$.

Linear.

5.

$2xy\dot{y}+x^2-y^2=0,\quad y=0\;\;\text{quando} \;\; x=0$; R: (x-C)+y²=C².

Bernoulli.

Exercício 3   Achar a curva para a qual a normal em qualquer um de seus pontos é igual à distância deste ponto até a origem das coordenadas.

R: A hipérbole y²-x²=C ou a circunferência y²+x²=C.

Exercício 4   A área da figura limitada por uma curva, pelos eixos das coordenadas e pela ordenada de qualquer um dos seus pontos da curva é igual ao comprimento do arco correspondente da mesma. Achar a equação desta curva, sabendo-se que ela passa pelo ponto (0,1).

R: $y=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).$

$$\int\limits_o^x\;y(x)dx=\int\limits_0^x\;\sqrt{1+\dot{y}(x)}dx.$$

$$y=\sqrt{1+\dot{y}^2}$$

Use $\dot{y}=p$ como na equação de lagrange.

Exercício 5   Achar a curva sabendo que a área do setor limitado pelo eixo polar, a própria curva e o raio polar de qualquer um de seus pontos é proporcional ao cubo deste raio.

R: $r=k\phi$

$$\int\limits_o^\theta\;\frac{1}{2}r^2(\theta)d\theta=kr^3.$$