Aplicações de EDO

Lista 9

Exercício 1   Achar a família de trajetórias ortogonais à família de curvas (lemnescatas)

$$\rho^2=a\cos (2\phi).$$

Resposta: $\rho^2=C{\text {\ sen }}(2\phi)$.

Exercício 2   Um depósito cilíndrico de volume V₀ está cheio de ar atmosférico, que se comprime de modo adiabático (sem troca de calor com o meio) até que seu volume seja V₁. Calcular o trabalho realizado durante a compressão.

Usar que um processo adiabático se caracteriza pela equação de Poisson:

$$\frac{p}{p_0}=\left (\frac{V_0}{V}\right )^k$$

onde V₀ é o volume inicial do gás, p₀ é a pressão inicial e ké uma constante que depende do gás.

Resposta:

$$W=\frac{p_0V_0}{k-1}\left [\left (\frac{V_0}{V_1}\right)^{k-1}-1\right ].$$

Exercício 3   Segundo a lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional a diferença entre a temperatura T do corpo e da temperatura T₀ do ar. Se a temperatura do ar é de $20^{\text o}$ C e o corpo se resfria em 20 min de $100^{\text o}$ C até $60^{\text o}$ C, quanto tempo levará para que sua temperatura chegue a $30^{\text o}$ C.

Exercício 4   Um homem inicialmente em O caminha ao longo da borda de um lago em linha reta na direção indicada na figura 1 enquanto puxa um barco que está inicialmente em A, através de uma corda de comprimento a que é mantida sempre retesada. Determine a trajetória do barco em equações paramétricas.

 

Figure 1: Barco sendo puxado.

Resposta:
$$\begin{align}x=&a\,\ln\left[ {\text {\ cotg }}\frac{\theta}{2}-\cos \theta\right ],\\ y=&a{\text {\ sen }}\theta. \end{align}$$

Exercício 5   Um tanque contém 10 litros de água salgada na qual está dissolvido 5 gr. de sal. Salmoura contendo 3gr. de sal por litro entra no tanque a velocidade de 2l por minuto e é misturado completamente saindo então com a mesma velocidade.

1.

Encontre a quantidade de sal em cada instante de tempo t.

2.

Quanto sal está presente depois de 10min.?

3.

Quanto de sal estará presente depois de muito tempo?

Exercício 6   Um tanque contém inicialmente 50 l de salmoura na qual está dissolvida 10gr de sal. Salmoura de concentração 2gr/l entra no tanque à taxa de 5l/min. A mistura se dá instantaneamente e sai a uma taxa de 3l/min. Determine a quantidade de sal em cada instante de tempo t.

Resposta:

$$x(t)=4t+100-\frac{22.50\sqrt{2}}{(2t+50)^{3/2}}.$$

Exercício 7   Um líquido transporta uma droga para dentro de um orgão de volume Vcm³ à taxa de a cm³/s e sai à taxa de bcm³/s. A concentração da droga no líquido que entra é cg/cm³. Determine a expressão da concentração de droga no interior do orgão como função do tempo.

Resposta:

$$x(t)=\frac{\bf {ac}}{\bf {b}} + \left( x_0-\frac{\bf {ac}}{\bf {b}} \right)e^{\bf {b}t/V}.$$

Lei de Ação das Massas: Se a temperatura é mantida constante, a velocidade de uma reação química é proporcional ao produto das concentrações das substâncias que estão reagindo.

Exercício 8   Duas substâncias químicas, A e B, reagem para formar uma terceira C. É conhecido que a taxa com que C é formada varia com o produto das quantidades presentes das substâncias A e B. A formação requer 2lb. de A para cada libra de B. Se 10 lb. de A e 20 lb. de B estão presentes inicialmente, e se 6 lb. de C são formadas em 20 min., encontre a quantidade de substância C formada em cada instante do tempo.

Resposta:

$$x=\frac{15[1-\left(\frac{2}{3}\right)^{3t}]} {1-\frac{1}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^{3t}}$$

Exercício 9   Água é aquecida até a temperatura de 100^o C. Esta água é então removida do calor e colocada em um ambiente que está à temperatura de 60^oC. Depois de 3 minutos a temperatura da água é 90^oC. Encontre a temperatura da água após 3 min. Dê a expressão da temperatura da água em função do tempo.

Resposta:
$$\begin{align}T(t)=&60+40\left(\frac{3}{4}\right)^{t/3}\\ T(6)=&82.5^oC \end{align}$$

Exercício 10   Na reação $\mathbf{A} + \mathbf{B}\rightarrow \mathbf{M}$, $\alpha$ moles por litro de A e $\beta$ moles por litro de B são combinados. Se x denota o número de moles por litro que reagiram depois de decorridos t unidades de tempo, determine a lei de x. Se $\alpha\neq \beta$ determine x(t)

Resposta:

$$\frac{dx}{dt}=k(\alpha-x)(\beta-x)$$

$$x(t)=\frac{\alpha \beta\big[1-e^{(\beta-\alpha)kt}\big ]}{\alpha-\beta e^{(\beta-\alpha)kt}}$$

Exercício 11   A quantidade de 260g de CH₃COOC₂H₅(ethyl acetate) é combinada com 175g de NaOH (sodium hydroxide) em água para obter-se CH₃COONa (sodium acetate) e C₂H₅OH (ethyl alcohol) de acordo com a fórmula

$$\mathbf{CH}_3\mathbf{COOC}_2\mathbf{H}_5\,+\,\mathbf{NaOH}\;\... ...hbf{CH}_3\mathbf{COONa}\,+\,\mathbf{C}_2\mathbf{H}_5\mathbf{OH}$$

No final de 10 minutos, 60g de sodium acetate se formaram. Se a reação obedece a lei de ação das massas,

1.

calcular a constante da velocidade.

2.

encontre o número de gramas de sodium acetate e de ethyl alcohol presentes depois de decorridos meia hora.

Sugestão: use os pesos atômicos C=12.01, H=1.008 , O=16 e Na=22.997.

Resposta:

$$1.44\times 10^{-2}\;{\text litros.moles}^{-1}.{\text min}^{-1}$$

$$127 g\;\;{\text sodium\;\; acetate},\quad 71g{\;\;ethyl\; alcohol}$$

Exercício 12   Se $30 \%$ de uma substncia radioativa desaparece em 10 dias, quanto tempo levará para que $90\%$ desapareça?

Informações experimentais:

1.

A queda de voltagem através de um resistor satifaz

E_R=RI,

onde R é o coeficiente de resistência do resistor.

2.

A queda de voltagem através de um indutor satifaz

$$E_L=L\frac{dI}{dt},$$

onde L é uma constante chamada de indutância.

3.

A queda de voltagem através de um capacitor satifaz

$$E_C=\frac{Q}{C},$$

onde C é uma constante denominada de capacitância.

4.

$I=\frac{dQ}{dt}.$

5.

Lei de Kirchhoff:

A soma algébrica das quedas de voltagem ao longo do circuito é zero. De outro modo, a voltagem suprida pelo gerador é igual a soma das quedas de volta gem.

Exercício 13   Um gerador de eletricidade de E=200e^-5t está conectado em série com um resistor de 20 ohms e um capacitor de 0.01 farads. Assumindo que Q=0 em t=0, encontre a carga e acorrente como funções do tempo. Mostre que a carga alcança um máximo e o determine.

R:
$$\begin{align}Q(t)&=10te^{-5t}\\ I(t)&=10e^{-5t}-50te^{-5t}\\ Q_M&=\frac{2}{e}\\ t_M &=1/5s. \end{align}$$

Exercício 14   Um resistor de 20 ohms e um indutor de 5 henrys estão em série em um circuito elétrico no qual existe uma corrente elétrica de 20A no instante t=0. Encontre a corrente para t>0 se a força eletromotriz é zero para t>0.

Resposta:

I=20e^-4t.

Exercício 15   Um cilindro circular reto com eixo vertical está cheio de água e sofre então uma rotação em torno do eixo z de velocidade angular $\omega$. Determine a forma da suferfície do líquido.

 

Figure 2: Forma da superfície

Resposta:

$$z=\frac{\omega^2 x^2}{2g}.$$

Exercício 16   Pela manhã nevava a uma taxa constante em uma calma e pacata cidadezinha. O trator para a remoção de neve somente começou a trabalhar às 8:00 horas e também retirava neve a uma taxa constante. Na primeira hora, o trator conseguiu avançar 2Km e às 10:00 h ele se encontrava apenas 3km do seu lugar de partida. Diga a que horas começou a nevar.

Resposta:

$$t_0=8-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right).$$

Exercício 17   O Presidente e o Primeiro Ministro sentam-se em conferência no salão Oval da Casa Branca mantida a temperatura constante de 76^oF . Cada um se serve de 6 onças de café a temperatura de 210^oF. Se nenhum deles tivesse bebido nada em 30min. seus cafés estariam a temperatura de 80^oF. Creme é servido gelado a temperatura de 40^oF. O Primeiro Ministro coloca uma onça de creme logo no início. Eles falam por 10min. quando então o Presidente se serve de uma onça e imediatamente os dois bebem. Pergunta: quem bebe o café mais frio?