Cálculo de Integrais Reais via Teorema dos Resíduos

Tipo 1 O integrando R(x) é uma função racional da forma

$\begin{displaymath}R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\end{displaymath}$

sem pólos no eixo real e tal que o grau do denominador Q(x) é, no mínimo 2 unidades maior que o do numerador P(x) isto é:

$\begin{displaymath}I=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x) dx=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} dx.\end{displaymath}$

Para calcularmos integrais do tipo 1, consideramos a integral de contorno

$\begin{displaymath}J_\rho=\int\limits_{C_\rho}R(z)dz=\int\limits_{-\rho}^{\rho} R(x)dx+ \int\limits_{\tau_\rho}R(z)dz,\qquad \rho>0\end{displaymath}$

onde $C_\rho$ e $\tau_\rho$ são as curvas que se vêem na figura abaixo. Se $\rho$ é suficientemente grande, todos os pólos de R(z) que estão no semiplano superior são interiores a $C_\rho$ . Como

$\begin{displaymath}\lim\limits_{\rho\to \infty}\int\limits_{\tau_\rho}R(z)dz=0\end{displaymath}$

segue que

$\begin{displaymath}\lim\limits_{\rho\to \infty}\int\limits_{C_\rho}R(z)dz=I\end{displaymath}$

Mas

$\begin{displaymath}\lim\limits_{\rho\to \infty}\int\limits_{C_\rho}R(z)dz=2\pi i\sum r\end{displaymath}$

onde $\sum r$ é a soma dos resíduos de R(z) no semiplano superior e portanto

$\begin{displaymath}I=2\pi i\sum r\end{displaymath}$

**Figure 1:**
$\includegraphics[width=0.80\textwidth]{fig1.eps}$

Tipo 2 O integrando R₁ é uma função racional finita de ${\text {\ sen }}\theta$ e $\cos \theta$ para $0\leq \theta\leq 2\pi$ :

$\begin{displaymath}I=\int\limits_{0}^{2\pi} R_1({\text {\ sen }}\theta, \cos \theta) d\theta.\end{displaymath}$

A substituição $z=e^{i\theta}$ transforma a integral I na integral

$\begin{displaymath}I=\int\limits_{C} R_1(z)dz,\end{displaymath}$

onde R₂(z) é uma função racional de z e C é o círculo unitário orientado positivamente, centrado em z=0. Ver figura 2 abaixo. Ora R₂(z) não pode ter pólos em C pois R₁ ficaria infinito para algum $\theta$ . Logo pelo teorema dos resíduos temos:

$\begin{displaymath}I=2\pi \sum r\end{displaymath}$

onde $\sum r$ é a soma dos resíduos de R₂(z) interiores a C.

**Figure 2:**
$\includegraphics[width=0.80\textwidth]{fig2.eps}$

Tipo 3

A integranda é $R(x)\cos mx$ ou $R(x){\text {\ sen }}mx$ , sendo R(x) uma função racional sem pólos no eixo real e tal que o grau do denominador é, no mínimo 1 unidade maior que o do numerador, isto é:

$\begin{displaymath}I_1=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\cos mx dx\quad I_2=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x){\text {\ sen }}mx dx.\end{displaymath}$

Para calcularmos estas integrais, seja

$\begin{displaymath}I=I_1+i I-2=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}R(x)(\cos mx+i{\text {\ sen }}mx) dx= \int\limits_{-\infty}^{+\infty}R(x)e^{imx}dx, \end{displaymath}$

e consideramos a integral

$\begin{displaymath}J_\rho=\int\limits_{C_\rho}R(z)e^{imz}dz= \int\limits_{-\rho}^{\rho}R(x)e^{imx}dx+ \int\limits_{\tau_\rho}R(z)e^{imz}dz\end{displaymath}$

onde o contorno é o da figura 1 mais acima. Ora se $\rho$ é suficientemente grande todas as singularidades de R(z)e^imz que estão no semiplano superior, estarão no interior de $C_\rho$ e empregando o teorema dos resíduos obtemos:

$\begin{displaymath}\int\limits_{-\rho}^{\rho}R(x)e^{imx}dx+ \int\limits_{\tau_\rho}R(z)e^{imz}dz=2\pi i\sum r,\end{displaymath}$

onde $\sum r$ é a soma dos resíduos de R(z) no semiplano superior. Utilizamos agora um lema (Lema de Jordan) que não provamos em aula que garante que:

$\begin{displaymath}\lim\limits_{\rho\to \infty}\int\limits_{\tau_\rho}R(z)e^{imz}dz=0\end{displaymath}$

e portanto

$\begin{displaymath}I=\int\limits_{-\infty}^{\infty}R(x)e^{imx}dx= \lim\limits_{\... ... \infty}\int\limits_{-\rho}^{\rho} R(x)e^{imx}dx= 2\pi i\sum r,\end{displaymath}$

e I₁ e I₂ são, respectivamente as partes real e imaginária de I.

Cálculo de Integrais Reais via T eorema dos Resíduos