Lista V

Cálculo D (E)

Exercício 1   Some as séries dadas:

a) $\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{3}{4})^{k+1}$            b) $\sum\limits_{k=2}^\infty \left(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1)^2}\right)$

Exercício 2   Expanda em série de potências com centro em x₀=0

a) f(x)=xe^5x2            b) f(x)=a^x.

c) $f(x)=x\ln\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)$         d) $f(x)=\frac{e^x-1}{x} \; x\neq 0,\;\; f(0)=1$

Exercício 3   Ache a soma de

$$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots$$

Sugestão: Estude a derivada de

$$f(x)=\left(\frac{e^x-1}{x}\right)$$

em x=1.

Exercício 4   Estime com erro menor do que 0.01.

a) $\int\limits_{0}^{1/2} \frac{1}{1+x^4}$         b) e^2/3.         c) 68^1/3

Exercício 5   Encontre o intervalo de convergência :

a) $\sum \frac{5^k}{k} (x-2)^k$                    b) $\sum \frac{k}{2k+1} x^{2k+1}$.

c) $\sum \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}(x+3)^k$                 d) $\sum \frac{(-1)^kk}{3^{2k}} (x)^k$.

Exercício 6   Encontre a soma da série:

$$\sum\limits_{k=1}^\infty a_k \quad \text{dado \;que \;}\quad a_k=\int\limits_k^{k+1} xe^{-x}.$$

Exercício 7   Use séries para provar a fórmula de Euler:

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$$