Lista VIII

Cálculo D

Exercício 1   Calcule as integrais

$$\int\limits_{C} f(z)dz$$

onde

a) $f(z)={\text {\ cossec }}z$ e C é o círculo unitário orientado positivamente.

Resposta: 1

b) f(z)=e^z/z e C é o círculo unitário orientado positivamente.

Resposta: $2\pi i$

c) $f(z)=\sec^2 z$ e C é o contorno $z=1/8 \pi +1/8 \pi e^{i\pi t}$ com $0\leq t\leq 1$.

Resposta: -1

d) $f(z)=\frac{{\text {\ senh }}z}{(z-\pi i)(z-3+2i)^2}$ e C é o círculo de raio 2 centrado em $z=\pi i$.

Resposta: 0

e) f(z)=e^kz/zⁿ⁺¹ e C é o círculo unitário orientado positivamente.

Resposta: $2\pi k^n/n! i$.

f) $f(z)={\text {\ sen }}kz/z^{n+1}$ e C é o círculo unitário orientado positivamente.

Resposta: $(-1)^{n/2}i2\pi k^n/n!$ se n é par e $\frac{2\pi i}{n!} (-1)^{(n+1)/2}k^n$ se n é ímpar.

g) $f(z)=\frac{2z^2-z}{z-1}$ e C é qualquer contorno simples, fechado, orientado positivamente envolvendo z=1.

Resposta: $2\pi i$.

h) $f(z)=\frac{a{\text {\ sen }}z+b\cos^2 z}{z}$ e C é qualquer contorno simples, fechado, orientado positivamente envolvendo z=0.

Resposta: $2\pi b i$.

i) $f(z)=\frac{\cosh z}{z^{n+1}}$ e C é qualquer contorno simples, fechado, orientado positivamente envolvendo z=0.

Resposta: 0 se n é ímpar e $\frac{1}{n!}$ se n é par.

Exercício 2   Observe os modelos abaixo:

Série de Laurent para as funções nos anéis dados:

a) $f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}$    em a<|z|<b.

b) $f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}$    em |z|>b.

c) $f(z)=\frac{1}{z(z+a)}$    em 0<|z|<a.

Para resolver a) fazemos:

$$f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}=-\left(\frac{1}{b-a}\right) \left(\frac{1}{z-a}-\frac{1}{z-b}\right)$$

Como

$$\frac{1}{z-a}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-a/z}=\frac{1}{z} \sum\lim... ...rac{a}{z}\right)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{a^{n-1}}{z^n}$$

$$-\frac{1}{z-b}=\frac{1}{b}\frac{1}{1-z/b}=\frac{1}{b} \sum\li... ...c{z}{b}\right)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{z^{n}}{b^{n+1}}$$

Logo

$$f(z)=-\frac{1}{b-a} \left(\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{z^n}{b^{n+1}}+ \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{a^{n-1}}{z^n}\right)$$

para a<|z|<b.

Para a parte b) usamos a mesma decomposição em frações parciais de a)

$$-\frac{1}{z-b}=-\frac{1}{z}\frac{1}{1-b/z}=-\frac{1}{z} \sum\... ...{b}{z}\right)^n= -\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{b^{n-1}}{z^{n}}$$

que vale para |z|>b. Como b>a o desenvolvimento de 1/(z-a) obtido em a) é válido para |z|>ae pode ser usado aqui. Assim,

$$\frac{1}{z-a}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{a^{n-1}}{z^n}$$

que vale para |z|>a e portanto para |z|>b. Portanto

$$f(z)=-\frac{1}{b-a}\left( \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{a^{n-... ...rac{1}{b-a}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{b^{n-1}-a^{n-1}}{z^n}.$$

Note que o primeiro termo deste somatório se anula, pois b⁰-a⁰=0. Logo

$$f(z)=-\frac{1}{b-a}\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{b^{n-1}-a^{n-1}}{z^n}.$$

Para a letra c) podemos escrever,

$$f(z)=\frac{1}{z(z+a)}=\frac{1}{z} g(z)$$

onde $g(z)=\frac{1}{z+a}$. Como g(z)é analítica em z=0 pode ser desenvolvida em série de Taylor numa vizinhança de z=0, válida no interior do círculo |z|<a. Assim

$$g(z)=\frac{1}{z+a}=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n\qquad \text{para}\quad \vert z\vert<a.$$

Por derivação obtemos

$$a_n=(-1)^n\frac{1}{a^{n+1}}$$

para todo n=1,2,3.... Portanto como

$$g(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{z^n}{a^{n+1}}\qquad \text{para}\quad \vert z\vert<a,$$

$$f(z)=\frac{1}{z}g(z)=\frac{1}{az}-\frac{1}{a^2}+ \frac{z}{a^3... ...}{az}+ \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} \frac{z^n}{a^{n+2}}$$

Ache a série de Laurent para a função

$$f(z)=\frac{1}{z(1-z^2)}$$

no domínio 0<|z|<1.

Resposta: $f(z)=\frac{1}{z}+\sum\limits_{n=0}^\infty (n+2)z^n$.

Exercício 3   Calcule

$$\int\limits_{C} f(z)dz$$

onde

a) $f(z)=\frac{1}{z {\text {\ sen }}z}$ e C é o círculo unitário orientado positivamente.

Resposta: 0

b) $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$ e C é o círculo de raio 1/30 orientado positivamente e centrado em $z=1/(2\pi)$.

Resposta: $\frac{1}{2\pi i}$.

Exercício 4   Calcule as integrais reais;

a) $\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{(x^2+1)^2} dx$

Resposta: $\frac{\pi}{2}$.

b) $\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{x{\text {\ sen }}mx}{x^2+a^2} dx$

Resposta: $\pi e^{-ma}$.

c) $\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{\cos 2\theta}{13-12\cos \theta}d\theta$

Resposta: $\frac{8\pi}{45}$.

d) $\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{(x+2)\cos 3x}{x^2+1}dx$

Resposta: $2\pi e^{-3}$.

Exercício 5   Determine as singularidades e calcule os resíduos:

a)

$$f(z)=\frac{4z^3+17z^2+27z+17}{z^3+4z^2+5z+2}$$

Resposta: z₁=-1, Res(f,z₁)=2 e z₂=-2 com Res(f,z₂)=-1.