Lista

Exercício 1 Calcule a série de Fourier das funções:

$\begin{displaymath}f(x)=\begin{cases} & -x \quad \text{se}\quad -1\leq x<0\\ & x \quad \text{se} \quad 0\leq x\leq 1 \end{cases} \end{displaymath}$

Resposta:

$\begin{displaymath}f(x)=\frac{1}{2}-\frac{4}{\pi^2}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\cos (2k+1)\pi x}{(2k+1)^2}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}f(x)=\begin{cases} & 0 \quad \text{se}\quad -\pi\leq x<0\\ & \pi \quad \text{se} \quad 0\leq x\leq \pi \end{cases} \end{displaymath}$

Resposta:

$\begin{displaymath}f(x)=\frac{\pi}{2}+\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{ 2}{2k+1} {\text {\ sen }}(2k+1)x \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}f(x)=e^{ax}\quad -\pi< x< \pi\end{displaymath}$

Exercício 2 Use a parte a) do exercício 1 para mostrar que:

$\begin{displaymath}\frac{\pi^2}{8}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}\end{displaymath}$

Exercício 3 Resolva os problemas de valores no contorno:

$\begin{displaymath}a) \begin{cases} &\frac{\partial u}{\partial t}=2\frac{\parti... ... &u(0,t)=u(4,t)=0\\ &u(x,0)=25x \quad 0<x,\;\;t>0 \end{cases}\end{displaymath}$

Resposta:

$\begin{displaymath}u(x,t)=-\frac{200}{\pi}\sum\limits_{m=1}^{\infty} \frac{e^{-m^2\pi^2t/8}\cos m\pi }{m}{\text {\ sen }}\frac{m\pi x}{4} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}b) \begin{cases} &\frac{\partial u}{\partial t}=2\frac{\parti... ...)=u1 \;\;u(L,t)=u2\\ &u(x,0)=0 \quad 0<x<L,\;\;t>0 \end{cases}\end{displaymath}$

Resposta:

$\begin{displaymath}u(x,t)=-\frac{200}{\pi}\sum\limits_{m=1}^{\infty} \frac{e^{-m^2\pi^2t/8}\cos m\pi }{m}{\text {\ sen }}\frac{m\pi x}{4} \end{displaymath}$

Exercício 4 Uma placa circular de raio unitário, cujas faces são isoladas tem seu contorno mantido à temperatura $120+60\cos 2\phi$ . Determine a temperatura estacionária da placa.

Resposta:

$\begin{displaymath}u(\rho,\phi)=120+60\rho^2 \cos 2\phi\end{displaymath}$

Exercício 5 Distende-se uma corda de 2 pés de comprimento entre os dois pontos fixos x=0e x=2. Se o deslocamento da corda, a partir do eixo, no instante t, é dado por f(x)=0.03x(2-x) e se a velocidade inicial é zero, determine o deslocamento em um instante subsequente.

Resposta:

$\begin{displaymath}y(x,t)=-\frac{96}{\pi^3}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(... ...text {\ sen }}\frac{(2n-1)\pi x}{2} \cos \frac{(2n-1)\pi ct}{2}\end{displaymath}$

Exercício 6 Uma placa quadrada de lado a tem um bordo mantido à temperatura f(x) e os outros três bordos mantidos à temperatura zero. Mostre que a temperatura eatacionária é dada por

Resposta:

$\begin{displaymath}u(x,y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left[\frac{2}{a{\text {\ s... ...text {\ sen }}\frac{k\pi x}{a}{\text {\ senh }}\frac{k\pi y}{a}\end{displaymath}$

Lista IX