Lista IV

Cálculo D (E)

Exercício 1   Expanda em série de potências com centro em x₀=0

a) $f(x)=\frac{1}{(1-x)^3}$            b) $f(x)=\ln(2-3x)$.

c) $f(x)=\ln (1-x^2)$    d ) $f(x)=x^2\cos(x^2)$.

e) f(x)=e^3x3                f) $f(x)=x^2\ln(1+x^3)$.

g) $f(x)=\frac{x^3}{x+2}$                h) $f(x)=\frac{3x-2}{2x^2-3x+1}$.

Exercício 2   Some as seguintes séries de potências:

a) $\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}x^{3k}$                 b) $\sum\limits_{k=2}^\infty \frac{x^{3k+1}}{k!}$.

c) $\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{4k}}{k!}$          d) $\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\pi^{2k}}{6^{2k}(2k)!}$

Exercício 3   Estime com erro menor do que 0.01.

a) $\int\limits_{0}^1 \sin x^2$         b) $\int\limits_{1}^2 \frac{1-\cos x}{x}$.         c) $\int\limits_{0}^1 x^4e^{-x^2}$

Exercício 4   Encontre o intervalo de convergência :

a) $\sum \frac{1}{(2k)!} x^k$                    b) $\sum \frac{2^k}{3^k} x^k$.

c) $\sum (-k)^{2k}x^{2k}$                 d) $\sum \frac{\ln k}{k^2} (x-2)^k$.

e) $\sum \frac{1}{(\ln k)^k} (x-1)^{2k}$         f) $\sum \frac{2^{1/k}\pi^k}{k(k+1)(k+2)} (x-2)^k$.

Exercício 5   Encontre as séries de potências de:

a) $f(x)=\frac{\sin x}{x} \; x\neq 0,\;\; f(0)=1$        b) $f(x)=\sqrt{1+x}$.

c) f(x)=2^x d) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2+x}}$