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Prova I

Cálculo E
TURMAS 445-446

Date: 21-05-1999

Questão 1   Determine o raio de convergência da série:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(x+1)^{5n}}{(n+1)(\ln (n+1))}$$

Questão 2   Encontre as somas das séries:

1.

$\sum\limits_{n=3}^{\infty} \left(\sqrt [2n+1]{x}-\sqrt [2n-1]{x}\right)$

2.

$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+2n}$

3.

$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots$

Questão 3   Calcule os seguintes limites:

1.

$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{n{\text {\ sen }}n!}{n^2+1}$

2.

$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}$

Questão 4   Determine a convergência das séries:

1.

$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{(n-1)}\left( \frac{n}{2n-1} \right)^n$

2.

$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt [n+1]{10}}$

Questão 5   Determine a série de potências com centro em x=0 das funções :

1.

$f(x)=\frac{3}{(1-x)(1+2x)}$

2.

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$