Colóquio do Departamento de Matemática - 2022/2

Página Atualizada: 3a-feira, 08 de Novembro de 2022

 

Próximo Colóquio

11 de Novembro de 2022, 14:00h

Marcelo Sobottka (MTM-UFSC)

 

Sistemas Dinâmicos Simbólicos

Resumo:  Espaços shifts têm se mostrado ferramentas eficientes para entender o comportamento de sistemas dinâmicos em geral, bem como para modelar diversos fenômenos biológicos e físicos. Como ferramenta

puramente matemática que permite estudar diversos tipos de dinâmicas complexas, podemos citar o uso dos espaços shifts para estudar a ferradura de Smale [1] e o sistema de Lorenz [2]. Como ferramentas de modelamento, os espacos shifts são empregados para estudar desde epidemias até a concentração de gelo em oceanos (ver [3, 4, 5, 6]).

   De forma simples, um espaço shift pode ser definido como o espaço de todas as sequências infinitas que se pode escrever usando um alfabeto previamente especificado (possivelmente infinito), e que não contenham nenhuma palavra finita de uma lista previamente proibida. A ideia por detrás dessa definição é

exatamente simular a estrutura de uma linguagem, cujas sentenças válidas são formadas pela justaposição de letras, obedecendo a regras gramaticais apropriadas. Nesse sentido, espaços shifts se tornam objetos centrais na teoria de linguagens e de códigos, tendo uma aplicação direta à computação teórica e servindo de base para uma formulação alternativa de máquinas de Turing.

   Uma interessante propriedade de espaços shifts é o fato de que eles sempre podem ser representados por grafos dirigidos etiquetados (possivelmente infinitos) [7], o que dá uma associação deles com outra importante classe de objetos matemáticos. Nesta palestra falarei sobre espaços shifts, apresentando sua relação com outros tipos de sistemas dinâmicos, e explorando algumas classes de espaços shifts e suas caracterizações por grafos.

 

Referências:

[1] DEVANEY, R. (2021). An introduction to chaotic dynamical systems, CRC Press.

[2]VISWANATH, D. (2003). Symbolic dynamics and periodic orbits of the Lorenz attractor, Nonlinearity, 16, 1035-1056.

[3] FU, S. C. AND MILNE, G. (2003) Epidemic Modelling Using Cellular Automata. First Australian Conference on ArtiFIcial Life (ACAL2003), Canberra, Australia, 6-7.

[4] GEORGOUDAS, I. G., SIRAKOULIS, G. CH. AND ANDREADIS, I. (2007) Modelling earthquake activity features using cellular automata Mathematical and Computer Modelling 46, 1-2, 124-137

[5] KOULIS, T. (2002) Modeling sea ice concentrations with the biased voter model. Computing Science and Statistics 34.

[6] POLESZCZUK, J. ANDENDERLING,H. (2014) A High-Performance Cellular Automaton Model of Tumor Growth with Dynamically Growing Domains. Applied Mathematics., 5, 1, 144-152.

[7] SOBOTTKA, M. (2022) Some notes on the classification of shift spaces: Shifts of Finite Type; Sofic shifts; and Finitely Defined Shifts. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, New Series, 53, 981-1031.