Atividades de Aprendizagem


4.1 PRODUTO INTERNO EM ESPAÇOS VETORIAIS
4.2 BASES ORTONORMAIS
5.1 OPERADORES LINEARES SIMÉTRICOS E ORTOGONAIS

 

1) Seja W o subespaço de R2 gerado pelos vetores u = (2/3, 1) e v = (2, 3).

1.1) Descreva o que W representa, geometricamente, em R2;

1.2) Encontre uma base ortonormal de W;

 

2) Se u e v são vetores não-nulos em Rn, existe uma conexão entre o produto interno e o ângulo q entre os dois segmentos de reta da origem aos pontos identificados com u e v. A fórmula é:

Sejam vetores em R2 e R3.

2.1) Determine o vetor

2.1.1) Calcule o ângulo q1 entre os vetores a e b e o ângulo q2 entre os vetores a e w1 ;

2.1.2) Os vetores a e b são ortogonais? E os vetores a e w1?

2.2) O algoritmo descrito em 2.1 é utilizado para transformar um conjunto b1 = {u1, u2}, de dois vetores l. i., não ortogonais, de Rn em um conjunto b ’1 = {u’1, u’2} de vetores ortogonais. Enuncie formalmente o procedimento;

2.3) Encontre um vetor unitário u com mesma direção e mesmo sentido que c. O vetor u é dito versor de c;

2.4) Mostre que d é ortogonal a c;

2.5) Use os resultados de 2.3 e 2.4 para explicar por que d tem que ser ortogonal ao vetor unitário u.

 

3) Seja b = {v1, v2, ..., vj} uma base ortogonal para um subespaço W de Rn. Pelo fato de b ser uma base podemos escrever qualquer vetor w de W como combinação linear dos vetores de b , ou seja, existem escalares c1, c2, ..., cj, tal que

w = c1v1 + c2v2 + … + cjvj.

3.1) Encontre uma fórmula para calcular o valor ci, utilizando apenas os valores para i = 1, 2, ..., j;

3.2) O conjunto b = {(3, 1, 1), (– 1, 2, 1), (– 1/2, – 2, 7/2)} é uma base ortogonal de R3. Escreva o vetor w = (6, 1, – 8) como combinação linear dos vetores de b utilizando 3.1;

3.3) Se a base b de 3.2 não fosse ortogonal, seria possível encontrar os escalares da combinação linear de w usando 3.1? Explique.

 

4) Nos itens que seguem todos os vetores pertencem a Rn. Classifique cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.

4.1) Nem todo conjunto linearmente independente em Rn é um conjunto ortogonal;

4.2) Se y é uma combinação linear de vetores contidos em um conjunto ortogonal, então os coeficientes na combinação linear podem ser calculados sem resolução de sistemas lineares;

4.3) Se os vetores em um conjunto ortogonal de vetores não-nulos forem normalizados, então alguns dos novos vetores podem não ser ortogonais;

4.4) Uma matriz com colunas ortogonais é uma matriz ortogonal;

4.5) Nem todo conjunto ortogonal em Rn é linearmente independente;

4.6) O comprimento de todo vetor é um número positivo;

4.7) Os vetores u e –u tem comprimentos iguais;

4.8) Se x é ortogonal a ambos u e v, então x é ortogonal a u – v.

 

5) Sejam t0, t1, ..., tn números reais distintos. Para p e q em P n, defina

f:

5.1) Verifique que f é um produto interno em P n;

5.2) Seja V igual a P 2, munido do produto interno definido acima, onde t0 = 0, t1 = 1/2, e t2 = 1. Sejam p(t) = 12t2 e q(t) = 2t –1.

5.2.1) Calcule

5.2.2) Calcule o comprimento dos vetores p e q;

5.2.3) Calcule o ângulo entre os vetores p e q.

 

6) No item 3.3.5, do texto que trata de Diagonalização de Operadores, vimos que: "Se A é a matriz canônica de um operador linear T e D a matriz de T na base b de autovetores, temos

D = P– 1AP

onde é a matriz cujas colunas são os autovetores de T. Dizemos que a matriz P diagonaliza A ou que P é a matriz diagonalizadora".

No caso de A ser uma matriz simétrica, e portanto sempre diagonalizável, podemos obter uma base ortogonal de autovetores que, após a normalização, será uma base ortonormal. A matriz, acima citada, por ter suas colunas formadas por vetores ortonormais, é uma matriz ortogonal, ou seja, é tal que P– 1 = Pt. A matriz D, nesse caso, é obtida pela relação

D = PtAP,

e dizemos que P diagonaliza A ortogonalmente.

Seja T: R3 ® R3 a transformação linear definida por: T(x, y, z) = (2x +y + z, x + 2y – z, x – y +2z).

6.1) Encontre uma matriz P que diagonalize ortogonalmente a matriz canônica de T;

6.2) Encontre, usando P, a matriz que representa T na base ortonormal de autovetores.

 

7) Ache valores x e y tais que seja uma matriz ortogonal.

 

8) Let and let A be a symmetric nxn matrix. Then a quadratic form in x1, x2, ..., xn is the expression F(x1, x2, ..., xn) = vTAv.

Example:

Consider the quadratic form F (x, y, z) = 5x2 + 8xy + 5y2 + 4xz + 4yz + 2z2.

The symmetric matrix A corresponding to the quadratic form give is .

Finding a symmetric matrix A:

.

Then:

Þ .

8.1) Find the symmetric matrix A corresponding to the quadratic form:

8.1.1) F (x, y) = x2 – 10xy + y2

8.1.2) G (x, y) = – 3x2 + 5xy – 4y2

8.1.3) H (x, y, z) = 3x2 + 2xy + 4y2 + 5yz

8.1.4) L (x, y, z) = 2x2 + y2 – 3z2

8.2) Find the quadratic form corresponding to the symmetric matrix:

8.2.1)

8.2.2)

8.2.3)

 

9) Diagonalizar uma forma quadrática significa diagonalizar a matriz simétrica A (definida no exercício anterior). Após a diagonalização, obtemos uma matriz D, expressa A em uma base b de autovetores (ortonormais) de A, de modo que a forma quadrática diagonalizada é

F(v) = ([v]b )t D[v]b .

9.1) Seja Q(x, y) = x2 + 12xy – 4y2. Determine uma base b tal que

e Q(v) =

9.2) Escreva a forma quadrática encontrada em 9.1;

9.3) Diagonalize a forma quadrática dada em 8.1.1 e em 8.1.4 e escreva a forma diagonalizada de cada um.

9.4) Find the diagonalizable quadratic form corresponding to the symmetric matrix A in the exercise 8.2.1.

 

10) Seja P 2 o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a dois. Definimos em P 2

Considere W o subespaço de P 2 gerado pelos vetores p(t) = 1 e q(t) = 1 – t.

10.1) <f, g> é um produto interno?

10.2) Se a resposta em 10.1 for afirmativa, determine uma base ortogonal para W.

 

11) Seja T: R3 ® R3 o operador linear dado por T(x, y, z) = (z, x – y, – z).

11.1) Encontre duas bases ortonormais, b1 para Nu(T) e b2 para Im(T).

11.2) Os vetores da base b1 são ortogonais aos vetores da base b2?

11.3) Repita 11.1 e 11.2, considerando o produto interno

 

 

 

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