Cônicas

6.2 CÔNICAS

Cônica é um conjunto de pontos X = (x, y) do R² que satisfazem, em relação a base canônica a = {(1, 0), (0, 1)}, a equação do 2^º grau

Nós já conhecemos, da geometria analítica, o tratamento das cônicas que não possuem o termo misto Cxy (C = 0), onde os termos em x e em y podem ser agrupados e o completamento dos quadrados reduz a equação, permitindo o seu reconhecimento e a sua representação geométrica. A caracterização dessas cônicas (C = 0) é terem seus eixos de simetria paralelos aos eixos cartesianos. A presença do termo Cxy na equação indica que a cônica não terá mais eixos de simetria paralelos aos eixos Ox e Oy. Como por exemplo a elipse cuja equação é

e que não tem seus eixos paralelos aos eixos Ox e Oy, como podemos ver no gráfico que segue.

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Observe, na equação, que a separação das variáveis x e y não pode mais ser feita. Na verdade, o que devemos fazer é buscar outra base
b = {u₁, u₂} em que os vetores u₁ e u₂ direcionem novos eixos Ox₁ e Oy₁ em relação a qual a cônica mantenha o mesmo comportamento de paralelismo dos eixos de simetria aos novos eixos de referência. Para a cônica definida pela equação acima, a base b e os novos eixos são os da figura abaixo.

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6.2.1 REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DA EQUAÇÃO DA CÔNICA

Uma equação de cônica, em coordenadas canônicas do R²

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

pode ser expressa matricialmente por:

Nosso objetivo é eliminar da equação o termo misto Cxy. Para isso, observemos que a matriz define um operador simétrico sendo, portanto, diagonalizável. Isso indica que a nova expressão da cônica, sem termo misto, pode ocorrer na base b de autovetores. A matriz K será então substituída por sua representação, nessa base b de autovetores, por = , onde l₁ e l₂ são os autovalores de K. Note que, por K ser simétrica, a base b de autovetores é ortogonal. Tomaremos b como uma base ortonormal, de forma que a matriz de mudança da base a para a base b , que comparece na forma linear, será uma matriz ortogonal e, então, exibirá a rotação ou a rotação seguida de reflexão que ocorre com os eixos Ox ou Oy ao se transformarem em Ox₁ e Oy₁.

Voltemos a representação matricial da cônica. Substituindo na forma quadrática a matriz K pela matriz temos:

Esta equação tem agora a forma quadrática na nova base mas a forma linear ainda na base canônica. Para obtermos a equação toda na nova base devemos substituir por . Da mudança de base sabemos que

onde é a matriz de mudança da base de autovetores para a base canônica. Temos então, finalmente

Essa nova equação, agora na base ortonormal b = {u₁, u₂}, de autovetores de K, não possui mais o termo misto e portanto sua posição geométrica será facilmente reconhecida. Prestemos atenção, no exemplo desenvolvido a seguir, e observemos que as colunas de são autovetores normalizados de K, u₁ e u₂, correspondentes respectivamente aos autovalores l₁ e l₂. A expressão matricial pode então ser escrita assim:

Tomemos, para exemplificar a equação dada anteriormente como ilustração:

representação matricial da equação (na base canônica)

autovalores de K: det(K – l I) = 0

autovetores de K: (K – l I)v = 0

Nova base do R²:

para obter:

representação matricial da equação (na base b ):

equação da cônica na base b :

redução e representação geométrica

\ Elipse

C (– 1, – 2)

semi-eixo maior: // Ox₁

semi-eixo menor: // Oy₁

A representação geométrica da cônica é dada na segunda figura desta subunidade (6.2).

Exercícios

Gabarito

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