Curso Básico

O curso de nivelamento oferecido este ano será Introdução à Análise. Um dos objetivos deste curso é proporcionar conhecimentos necessários para que os futuros alunos de mestrado se preparem para cursar nosso Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada.

Introdução à Análise
Professore Encarregado: Prof. Fábio Silva Botelho
Carga Horária: 72 horas
Dias e Horários: De Segunda a Sexta das 9:00 ás 11:00
Local: Sala 007 - Auditório Airton Silva - Depto. de Matemática - UFSC
Conteúdo Programático:

  • Revisão sobre Corpos ordenados. Propriedade arquimediana. Seqüências monótonas. Corpos ordenados completos. O sistema dos números reais. Supremo e ínfimo. Seqüências de Cauchy. Limite superior e limite inferior.

  • O espaço euclidiano Rn. Normas, produtos internos e métricas. Espaços métricos. Espaços normados. Conjuntos abertos e fechados. Interior de um conjunto. Pontos de acumulação. Fecho de um conjunto. Fronteira de um conjunto. Seqüências em Rn. Espaço métrico completo. Completamento de um espaço métrico. Séries numéricas e de vetores.

  • Compacidade seqüencial. Espaço métrico compacto. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Conjunto totalmente limitado. Teorema de Heine-Borel. Conjuntos encaixantes. Conjuntos conexos por caminhos. Conjuntos Conexos.

  • Limite e continuidade. Caracterização de funções contínuas. Imagem de compactos e conexos. Operações com funções contínuas. Limitação de funções contínuas em compactos. Teorema do valor intermediário. Continuidade uniforme.

  • Seqüências de funções. Convergência pontual e convergência uniforme. Séries de funções. Critério de Cauchy. Teste M de Weierstrass. Integração e derivação de séries. O espaço das funções contínuas. Espaço de Banach. Equicontinuidade. Teorema de Arzela-Ascoli. Teorema do ponto fixo. Aproximação de funções por polinômios. Teorema de Stone-Weierstrass.


Bibliografia:
  • E. L. Lima, Curso de Análise, Vol. 1, Projeto Euclides - IMPA, 1978.
  • W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
  • E. L. Lima, Espaços Métricos, Projeto Euclides - IMPA, 1977.
  • R. G. Bartle, Elementos de Análise , Real Editora Campus, 1983.
  • E. L. Lima, Curso de Análise - vol. II, Projeto Euclides - IMPA, 1978.