Dados do Grupo:

Ano de formação: 2007

Líderes do grupo: Fermín S. Viloche Bazán e Jáuber Cavalcante de Oliveira

Área predominante: Ciências Exatas e da Terra; Matemática

Objetivo Geral:

Desenvolver métodos teóricos e práticos para resolver problemas provenientes de aplicações reais em engenharia e outras áreas, com ênfase no tratamento numérico de EDP's através de métodos espectrais/pseudo espectrais e de elementos finitos, bem como na solução de problemas inversos de identificação, reconstrução, e de inversão de operadores mal postos através de métodos em otimização e algebra linear computacional. Como missão, o grupo visa prestar serviço à comunidade científica fornecendo assessoria e métodos para problemas práticos e de interesse para o progresso do pais.

Pesquisadores Participantes:

Fermín S. Viloche Bazán (Curriculum Vitae)

Jáuber Cavalcante de Oliveira (Curriculum Vitae)

Juliano de Bem Francisco (Curriculum Vitae)

Luciano Bedin  (Curriculum Vitae)

Paulo Rafael Bösing (Curriculum Vitae)

Estudantes Participantes:

Bianca de Souza (Bacharelado em Matemática)

Leonardo Silveira Borges (Bacharelado em Matemática)

Projetos de Pesquisa:

01. Resolvendo Reissner-Mindlin via Elementos Finitos Descontínuos

Participantes: Prof. Paulo Rafael Bösing; Prof. Alexandre Madureira (LNCC) e Prof. Igor Mozolevski (UFSC)

Descrição: O presente projeto propõe a análise e aplicação de métodos de elementos finitos modernos em placas. Para o caso mais clássico - placas linearmente elásticas - um dos modelos utilizados, o de Reissner--Mindlin [1], oferece dificuldades numéricas às tentativas de modelagem. De fato, no limite quando a espessura da placa tende a zero, a solução via Reissner--Mindlin converge para a solução do modelo biharmônico [2], o que origina o chamado locking numérico. Neste sentido, o presente projeto visa introduzir novos métodos numéricos do tipo Galerkin descontínuo para Reissner--Mindlin que generalizam os propostos por P.R.Bösing em [3] (para a equação biharmônica), e que são livres de locking numérico.

Bibliografia:

[1] Stephen M. Alessandrini, Douglas N. Arnold, Richard S. Falk, and Alexandre L. Madureira, Derivation and justification of plate models by variational methods, Plates and shells (Québec, QC, 1996), CRM Proc. Lecture e Notes, vol. 21, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, pp. 1–20.

[2] Douglas N. Arnold, Alexandre L. Madureira, and Sheng Zhang, On the range of applicability of the Reissner-Mindlin and Kirchhoff-Love plate bending models, J. Elasticity 67 (2002), no. 3, 171–185 (2003).

[3] Paulo Rafael Bösing, Método de Galerkin descontínuo para equações elípticas de alta ordem, Tese de Doutorado, Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, 2006.

Apoio Financeiro:

Página do Projeto: http://www.mtm.ufsc.br/~bosing/

02. Análise e Simulação Numérica do Movimento de Macromoléculas em Fluidos Ionizados

Participantes: Prof. Paulo Rafael Bösing e Prof. Luciano Bedin (UFSC)

Descrição: O projeto de pesquisa envolve a modelagem, a análise e a simulação computacional de campos elétricos em fluidos ionizados contendo macromoléculas carregadas em movimento. O estudo de tais problemas é essencial em uma das mais importantes áreas em Biofísica: a teoria da eletroforese, a qual está diretamente relacionada à nanotecnologia (design de micro chips, sensores e micro bombas [5]) e a importantes aspectos biológicos (como por exemplo, na descrição estrutural de proteínas [4]).

A análise teórica desses fenômenos, bem como sua simulação, deve levar em consideração características específicas da física e da estrutura da macromolécula em questão, bem como a complexidade intrínseca dos fenômenos eletros cinéticos. Nesse contexto, será considerado um modelo realístico baseado em mecânica newtoniana para corpos rígidos, onde a superfície de acessibilidade da macromolécula pode assumir configurações geométricas complexas. As equações dinâmicas serão propostas na forma acoplada: Poisson-Boltzmann não linear para o potencial eletrostático, equações de Stokes para o comportamento hidrodinâmico do sistema e equações de Newton para o movimento da partícula. Todas essas equações dependem do movimento, já que o domínio ocupado pelo fluido, a cada instante de tempo, é variável (domínios não cilíndricos).

Investigações analíticas de modelos semelhantes têm sido realizadas em [1], [2] e [3], e a ênfase do projeto será a de desenvolvimento e implementação de códigos computacionais associados, baseado no método de elementos finitos de Galerkin descontínuo.

Bibliografia:

[1] Bedin, L., Thompson, M. Motion of a charged particle in ionized fluids. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences 16, (8) (2006), 1271-1318.

[2] Bedin, L., Thompson, M. Weak Solutions for the electrophoretic motion of charged particles. Computational and Applied Mathematics 25, (1) (2006), 1-26.

[3] Bedin, L., Thompson, M., Vilhena, M. T. On the Poisson-Boltzmann equation on non-smooth domains. International Journal of Differential Equations and Applications 8, (2003), 311-327.

[4] Freitag, R., Hilbrig, F., Theory and practical understanding of the migration behavior of proteins and peptides in CE and related techniques. Electrophoresis 28, 13 (2007), 2125-2144.

[5] Lou, X. J., Panaro, N. J., Wilding, P, Fortina, P., Kricka, L. J. Mutation detection using ligase chain reaction in passivated silicon-glass microchip capillary electrophoresis. Biotechniques 37, 3 (2004), 392-400.

Apoio Financeiro:

Página do Projeto: http://www.mtm.ufsc.br/~bosing/

03. Cálculo de Subespaços Invariantes via Técnicas de Otimização

Participantes: Prof. Juliano de Bem Francisco e Prof. Fermín S. Viloche Bazán (UFSC)

Descrição: O projeto de pesquisa envolve a exploração de técnicas de otmização para calcular o subespaço invariante associado a um grupo seleto de k autovetores de uma matriz simétrica A (n x n). Quando o subespaço procurado corresponde aos k menores autovalores de A, o problema pode ser formulado como um problema de otimização ([1], [5]) com características bem favoráveis. Tendo em vista a geometria favorável do problema, a proposta é explorar técnicas de otimização para calcular subespaços invariantes baseadas em métodos de região de confiança ([1], [4]) e técnicas de minimização em subespaços tangentes ([2], [3]).

Bibliografia:

[1]  J. B. Francisco, J. M. Martínez e L. Martínez.
Globally convergent trust-region methods for self-consistent field electronic structure calculations.
Journal of Chemical Physics, 121:10863--10878, 2004.

[4]  M. J. D. Powell e Y. Yuan. A trust region algorithm for equality constrained optimization,  Mathematical Programming, 49 : 189-211, 1990.

[5] A. H. Sameh e J. A. Wisniewski. A trace minimization algorithm for the generalized eigenvalue problem. SIAM Journal on Numerical Analysis, 19:1243--1259, 1982.

Apoio Financeiro:

Página do Projeto: http://www.mtm.ufsc.br/~juliano/

04. Métodos de Colocação Espectrais

Participantes: Prof. Jáuber C. Oliveira e Prof. Fermín S. Viloche Bazán (UFSC)

Descrição: A teoria fundamental dos métodos espectrais bem como suas várias aplicações estão detalhadas em [4, 5, 6]. O projeto de pesquisa envolve visamos investigar novos resultados de estabilidade e análise de convergência dos métodos semi-discretos espectrais para equações diferenciais parciais do tipo evolução.
Especificamente, visamos estabelecer resultados de estabilidade e convergência também para esquemas totalmente discretos. O desenvolvimento de novos esquemas de colocação espectrais também envolve aspectos computacionais como a análise da eficiência/custo computacional, análise de condições de contorno artificiais, detalhes de implementação visando melhorar a eficiência dos métodos, simulações numéricas, etc. ([1],[2],[3]).

Referências:

[1] Bazán, F. S. V., Chebyshev pseudospectral method for computing numerical solution of convection-diffusion equation. Aceito para publicação em Appl. Math. and Computation.

[2] Calegari, P. C., Bazán, F. S. V., Spectral analysis of a Chebyshev pseudospectral method for wave propagation with absorbing boundary conditions. Aceito para publicação em Tend. Mat. Apl. Comput.

[3] Oliveira, J. C., Bazán, F. S. V., Evaluation of numerical approaches based on absorbing boundary conditions for solving the wave equation in R^2. In: Proceedings of XXX CNMAC, UFSC, 2007.

[4] Orszag, S. A. , Spectral methods for problems in complex geometries, J. Comput. Phys. 37 (1980), 70-92.

[5] Canuto, C., Hussani, M. Y., Quarteroni, A, Zang, T A, Spectral methods in fluid dynamics, Springer-Verlag, 1988.

[6] Canuto, C., Hussani, M. Y., Quarteroni, A, Zang, T A, Spectral methods I: Fundamentals in single domains, Springer-Verlag, 2006.

[7] Oliveira, J. C., Métodos espectrais e seus derivados. In: Deschamps, C. J., Barbosa, J. R., (Orgs). III Escola de primavera em Transição e Turbulência. Florianópolis, Departamento de Engenharia Mecânica, UFSC, (2002), 365-404.

Apoio Financeiro:

Página do Projeto: http://www.mtm.ufsc.br/~jauber/metodos_espectrais_GANCC.html

05. Métodos de Espectrais para problemas com dados suaves e não-suaves.

Participantes: Prof. Jáuber C. de Oliveira e Prof. Fermín S. Viloche Bazán (UFSC)

Descrição: Os métodos espectrais ([3, 4, 5, 6]) são conhecidos pela elevada acurácia obtida na aproximação de funções suaves/resoluções de equações diferenciais com dados suaves. Se as funções envolvidas tem descontinuidades, as conhecidas estimativas de erro demonstram a rápida taxa de convergência dos métodos espectrais deterioram-se a, no mínimo, primeira ordem. A recuperação da elevada acurácia dos métodos espectrais para este tipo de problema tem sido foco de estudo recente na área. Visamos investigar esse problema procurando contribuir na proposta de novos filtros, adequados à melhoria na taxa de convergência das expansões espectrais fora dos pontos de descontinuidade. Uma outra abordagem para o problema que visamos investigar é o denominado método de Fourier-Gegenbauer, proposto originalmente por Gottlieb e co-autores em [1]. Nessa técnica, elimina-se completamente o fenômeno de Gibbs de expansões em série de Fourier de funções descontínuas, analíticas por partes. O método emprega os coeficientes de Fourier para obter os coeficientes de uma expansão em polinômios de Gegenbauer que representa com acurácia espectral a função dada. Em Oliveira e Eyng (2004) ([2]), um método de Fourier-Gegenbauer de resolução numérica de elevada precisão para as equações de Helmholtz unidimensionais foi proposto. O estudo numérico de casos-teste e comparações com métodos alternativos da literatura mostrou as vantagens da técnica proposta em [2]. Nosso objetivo é estender esses resultados além do caso unidimensional.

Bibliografia:

[1] Gottlieb, D., Shu, C.-H., Solomonoff, A., Vandeven, H., On the Gibbs phenomenon I: recoreving exponential accuracy from the Fourier partial sum of a non-periodic analytic function, J. Comput. Appl. Math., 43 (1992), 81-98.

[2] Oliveira, J. C., Eyng, J., Um método unidimensional de Fourier-Gegenbauer para a resolução da equação de Helmholtz, Tend. Mat. Apl. Comput., 5, no. 2, (2004), 295-306.

[3] Orszag, S. A. , Spectral methods for problems in complex geometries, J. Comput. Phys. 37 (1980), 70-92.

[4] Canuto, C., Hussani, M. Y., Quarteroni, A, Zang, T A, Spectral methods in fluid dynamics, Springer-Verlag, 1988.

[5] Canuto, C., Hussani, M. Y., Quarteroni, A, Zang, T A, Spectral methods I: Fundamentals in single domains, Springer-Verlag, 2006.

[6] Oliveira, J. C., Métodos espectrais e seus derivados. In: Deschamps, C. J., Barbosa, J. R., (Orgs). III Escola de primavera em Transição e Turbulência. Florianópolis, Departamento de Engenharia Mecânica, UFSC, (2002), 365-404.

Apoio Financeiro:

Página do Projeto: http://www.mtm.ufsc.br/~jauber/metodos_espectrais_GANCC.html