Distributivas

Podemos fazer operações simultâneas de adição e multiplicação entre várias matrizes, desde que as matrizes dadas obedeçam as regras básicas de adição e multiplicação. Estas operações as vezes são chamadas de distributivas.

Dadas as seguintes matrizes

$A = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & 4 \hfill \\ { - 5} ... ...- 1} \hfill & 2 \hfill \\ { - 3} \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$ e $M = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} { - 3} \hfill & 2 \hfill \\ 4 \hfill & { - 7} \hfill \\ 2 \hfill & { - 1} \hfill \\ \end{array} }} \right]$

Verifique as seguintes propriedades:

A(L+M) = AL + AM;

(ii) (A+B)(L+M) = A(L+M) +B(L+M).

Aplicamos os seguintes comandos:

$>$ A:=array([[2,3,4],[-5,2,-1],[2,-2,3]]);
B:=array([[-1,2,-3],[-7,4,2],[-1,-2,2]]);

$$A: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & 4... ...2 \hfill & { - 2} \hfill & 3 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$$B: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} { - 1} \hfill & 2 \hfil... ...} \hfill & { - 2} \hfill & 2 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ L:=array([[2,3],[-1,2],[-3,1]]); M:=array([[-3,2],[4,7], [2,-1]]);

$$L: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill \\ ... ...hfill \\ { - 3} \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$$M: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} { - 3} \hfill & 2 \hfil... ...hfill \\ 2 \hfill & { - 1} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ `A(L+M)`:=evalm(A&*(L+M));

$$A(L + M): = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 3 \hfill & { - 5... ...l \\ { - 11} \hfill & {20} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

ou, mais especificamente,

$>$ matrix(A)*(matrix(L)+matrix(M))=evalm(A&*(L+M));

$$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & 4 \hfi... ...l \\ { - 11} \hfill & {20} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ matrix(A)*(matrix(L)+matrix(M));

$$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & 4 \hfi... ... 2 \hfill & { - 1} \hfill \\ \end{array} }} \right]} \right)$$

$>$ `AL`:=evalm(A&*L);`AM`:=evalm(A&*M);

$$AL: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} { - 11} \hfill & {16} ... ...hfill \\ { - 3} \hfill & 5 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$$AL: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {14} \hfill & { - 21} ... ...ll \\ { - 8} \hfill & {15} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ matrix(`AL`)+matrix(`AM`)=matrix(`A(L+M)`);

$$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} { - 11} \hfill & {16} \hfill... ...l \\ { - 11} \hfill & {20} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

Assim, concluímos que

A(L+M) = AL + AM.

Aplicamos os seguintes comandos:

$>$ `A+B`:=evalm(A+B): A+B=matrix(`A+B`);

$$A + B = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & 5 \hfill ... ...1 \hfill & { - 4} \hfill & 5 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ `L+M`:=evalm(L+M): L+M=matrix(`L+M`);

$$L + M = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} { - 1} \hfill & 5 \h... ...hfill \\ { - 1} \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ `(A+B)(L+M)`:=evalm((A+B)&*(L+M)):
(A+B)*(L+M)=matrix(`(A+B)(L+M)`);

$$(A + B)(L + M) = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {13} \hfill... ...l \\ { - 18} \hfill & {25} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ `A(L+M)`:=evalm(A&*(L+M));`B(L+M)`:=evalm(B&*(L+M));

$$A(L + M): = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 3 \hfill & { - 5... ...l \\ { - 11} \hfill & {20} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$$B(L + M): = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {10} \hfill & { ... ...hfill \\ { - 7} \hfill & 5 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ matrix(`A(L+M)`)+matrix(`B(L+M)`)=
evalm(A*(L+M)+B*(L+M));

$$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} 3 \hfill & { - 5} \hfill \\ ... ...l \\ { - 18} \hfill & {25} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

Assim concluímos que

(A+B)(L+M) = A(L+M) +B(L+M).

Observação

• Devemos sempre lembrar que a ordem da multiplicação não pode ser trocada, pois o produto de matrizes não é comutativo.