Propriedades gerais das medidas

Nesta seção apresentamos algumas propriedades fundamentais das medidas abstratas. Lembramos ao leitor que a definição de medida esta formulada na definição 1.2.7. Algumas propriedades quando muito elementares serão enunciadas mas suas provas serão deixadas a cargo do leitor nos exercícios.

Lema 2.4.1   Seja $(X,\boldsymbol{ \mathscr{A} }, \mu)$ um espaço de medidas, e sejam A e B dois subconjuntos de X pertencentes a $\boldsymbol{ \mathscr{A} }$ tais que $A\subset B$. Então $\mu(A)\le \mu(B)$. Além disso, se $\mu(A)\le \infty$, então

$$\mu(B-A)=\mu(B)-\mu(A).$$

Prova. Exercícios.

Lema 2.4.2   Seja $(X,\boldsymbol{ \mathscr{A} }, \mu)$ um espaço de medidas, isto é Xé um espao, $\boldsymbol{ \mathscr{A} }$ uma $\sigma$-álgebra e $\mu$ uma medida. Se $\{A_k\}$ é uma sequência arbitrária de conjuntos em $\boldsymbol{ \mathscr{A} }$, então

   $$\mu\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)\le \mathop{\pmb{\sum}}\limits_{k=1}^\infty \mu(A_k).$$

Lema 2.4.3   Seja $(X,\boldsymbol{ \mathscr{A} }, \mu)$ um espaço de medidas.

1.

Se $\{A_k\}$ é uma sequência crescente de conjuntos em $\boldsymbol{ \mathscr{A} }$, então

$$\mu\left(\bigcup\limits_k A_k\right)=\lim\limits_k \mu(A_k).$$

2.

Se $\{A_k\}$ é uma sequência decrescente de conjuntos em $\boldsymbol{ \mathscr{A} }$, e se para algum n $\mu(A_n)< +\infty$ então

$$\mu\left(\bigcap\limits_k A_k\right)=\lim\limits_k \mu(A_k).$$