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Medida de Lebesgue
Definição 1.2.1
Um intervalo em
![\ensuremath {\mathbb{R} ^n }](img2.gif)
é um conjunto da forma
[a,b], (a,b], (a,b), [a,b) com
![$-\infty< b< +\infty$](img8.gif)
ou
da
forma
![$[a,+\infty),\ \ (-\infty, b],\ \ (-\infty, b)$](img10.gif)
with
![$a\in \ensuremath {\mathbb{R} ^n } $](img11.gif)
or finally
![$(-\infty, +\infty)$](img12.gif)
.
Denotaremos um tal intervalo por J. Por |J| queremos denotar o
comprimento de J.
Definição 1.2.2
Um retângulo em R
n
é um conjunto da forma
![\begin{displaymath}
Q=J_1\times J_2\times \cdots \times J_n
\end{displaymath}](img13.gif) |
(1.1) |
onde os
Ji são intervalos.
O volume de Q, vol(Q), define-se como:
![\begin{displaymath}{\rm vol}(Q)=\prod\limits_{i=1}^n \vert Ji\vert
\end{displaymath}](img14.gif) |
(1.2) |
Definição 1.2.3
A medida exterior ( ou medida exterior de Lebesgue)
de um conjunto
![${\mathbb R}^n$](img4.gif)
define-se como:
![\begin{displaymath}\mathfrak{m} ^*(S):={\rm inf} \mathop{\pmb{\sum}}_i {\rm vol}(Q_i)
\end{displaymath}](img16.gif) |
(1.3) |
onde o ínfimo é tomado sobre todas as famílias finitas ou
enumeráveis
![$\{Q_i\}$](img17.gif)
de retângulos tais que
![$S\subset \bigcup\limits
_i Q_i$](img18.gif)
.
De (a), (b) e (c) decorre o seguinte Corolário que melhora a
propriedade (c):
Uma função
onde
é aditiva se vale
sempre que
.
Decorre do corolário que m* é aditiva
sobre pares de conjuntos disjuntos se um deles é aberto ou fechado. Daremos
agora um exemplo de conjuntos disjuntos para os quais não vale a aditividade
da medida exterior de Lebesgue:
Exemplo 1.1
Seja
![$T:[0,1]\to [0,1]$](img29.gif)
definida por
onde
![$\alpha\in \mathbb{R} -\mathbb{Q} $](img31.gif)
.
Observe que
T é uma bijeção . Uma órbita de
T é um conjunto da
forma
![$\{T^n(x)\,;\,n\in \mathbb{Z}\}$](img32.gif)
onde
![$x\in [0,1]$](img33.gif)
.
Duas órbitas são
disjuntas ou coincidem. O conjunto das órbitas forma, pois uma partição
de [0,1]. Seja
A0 o conjunto obtido pela escolha de um ponto em cada
órbita de
T. Observe que estamos usando aqui o axioma da escolha. De fato
este exemplo não pode ser construido sem o axioma da escolha.
Afirmação 1. Se
.
Prova: Se
então
x=Tj(y)=Ti(z) with
.
Mas então
y=T-j(x) and
z=T-i(x). Suponhamos sem perda de generalidade que x>y. Então
existe
tal que i=j+k. Segue que
Tk(z)=Tk(T-j-k(x))=T-j(x)=y
isto é y pertence à órbita de z e
,
o que é uma
contradição.
Afirmação 2.
Seja
.
Então, x pertence a alguma órbita de T.
Seja
o elemento de A) nesta órbita. Então existe
tal que
x=Tk(x0), isto é
Afirmação 3.
Isto segue de que m* pode ser definida usando-se apenas
intervalos que não contém o ponto
.
E para estes intervalos vale
que
.
Se
fosse válida para quaisquer
disjuntos, então fazendo
Aj=Tj(A0) teríamos
Segue que
,
isto é ,
.
Mas, neste caso,
Deste modo vê-se que a medida exterior não é aditiva em
.
O objetivo natural seria encontrar
uma família de subconjuntos de
que contivesse os abertos e fechados (isto é a topologia) e
para a qual
fosse aditiva. Além disto é também razoável procurar
uma tal
família de modo a ser fechada por uniões e interseções
enumeráveis. Antes de passarmos a estudar este problema provemos o
teorema 1.2.1
Na prova do teorema 1.2.1 usaremos o seguinte lema:
Lema 1.2.1
.
Para todo
![$E\subset \mathbb{R} ^n$](img59.gif)
e
![$\delta>0$](img60.gif)
vale:
onde
![$\inf\limits_\delta$](img62.gif)
indica o ínfimo das somas a direita tomadas
sobre todos os recobrimentos {
![$Q_i,\;\;i=1,2\ldots$](img63.gif)
} de
E por
famílias de
retângulos com
![$\mbox{diam}(Q_i)<\delta$](img64.gif)
para todo
i.
Provados o teorema 1.2.1 e o corolário 1.2.1
continuamos na nossa busca de uma
família de subconjuntos de
para a qual a medida
exterior seja aditiva.
Para tal introduzimos as seguintes definições estabelecidas essencialmente
por Caratheodory.
Definição 1.2.4
Dizemos que
![$A\subset \mathbb{R} ^n$](img68.gif)
separa o par
![$(A_1,\: A_2)$](img69.gif)
se
![$A_1\subset
A,\
A_2\subset A^c$](img70.gif)
e
![$\mathfrak{m} ^*(A_i)< +\infty\ i=1,2$](img71.gif)
.
Definição 1.2.5
Dizemos que
![${\mathbb R}^n$](img4.gif)
é mensurável se
![\begin{displaymath}\mathfrak{m} ^*(A_1\cup A_2)=\mathfrak{m} ^*(A_1)+\mathfrak{m} ^*(A_2)
\end{displaymath}](img73.gif) |
(1.4) |
para todo par (
A1,
A2) separado por
A.
Teorema 1.2.2
(a). Todo fechado ou aberto é mensurável.
(b). A diferença de conjuntos mensuráveis é
mensurável.
(c). As uniões enumeráveis de mensuráveis são
mensurá-
veis.
A família de conjuntos mensuráveis denota-se
e se,
,
sua medida
exterior de Lebesgue denota-se m(A) e se
denomina medida de Lebesgue de A. A família
e a função
são casos particulares do
contexto mais geral dado pelas seguintes definições:
Definição 1.2.6
Seja
X um conjunto. Uma família
![$\boldsymbol{ \mathscr{A} }$](img79.gif)
de
subconjuntos de
X é
uma
![$\sigma$](img80.gif)
-álgebra se satisfaz:
- 1.
-
.
- 2.
-
.
- 3.
-
.
Usando um raciocínio elementar podemos a partir destas propriedades
obter as seguintes:
e que
.
Definição 1.2.7
Seja
![$\boldsymbol{ \mathscr{A} }$](img79.gif)
uma
![$\sigma$](img80.gif)
-álgebra em
X. Uma
função
definida em
![$\mu:
\boldsymbol{ \mathscr{A} } \mapsto [0,+\infty]$](img86.gif)
é uma medida se para toda
família
![$A_i\in \boldsymbol{ \mathscr{A} },\: i=1,2\ldots$](img87.gif)
de conjuntos disjuntos vale
Nesta linguagem
é uma
-álgebra em
(pelo teorema 1.2.2 )
e
é uma medida (pelo teorema 1.2.3 ).
Outra
-álgebra fundamental é a
-álgebra de Borel. Para defini-la introduzimos primeiro
o conceito de
-álgebra gerada por uma família de subconjuntos. Dada uma
família
de subconjuntos de X, dizemos que
é a
-álgebra
gerada por
se é a menor
-álgebra que contém
; mais precisamente, se
é uma
-álgebra e
para toda
-álgebra
tal que
.
Que
existe é trivial( basta tomar a interseção de todas as
-álgebras em X que contém
)
e a unicidade segue da
própria
definição.
Definição 1.2.8
Definimos a
![$\sigma$](img80.gif)
-álgebra de Borel de
![${\mathbb R}^n$](img4.gif)
,
e denotamos por
![$\boldsymbol{ \mathscr{B} }(\mathbb{R} ^n)$](img95.gif)
,
como aquela gerada pelos conjuntos fechados.
Como
é uma
-álgebra , ela contém todos os complementares dos
fechados, isto é, os abertos. Observamos que a
-álgebra gerada pelos abertos
também é a de Borel, porque contém todos os complementares de abertos,
isto é os fechados. Então, denotando-a por
,
resulta da
definição de
-álgebra gerada por, que
.
Além disso
porque
é uma
-álgebra que contém todos os
fechados, e estes geram
.
A relação "
" acima é estrita ( o que demonstraremos
mais tarde), mas todo mensurável é uma união disjunta de um boreleano
e um conjunto de medida zero.
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Aldrovando Azeredo Araujo
1998-03-19