Distorção da medida de lebesgue por transformações lineares

Seja $T:\ensuremath {\mathbb{R} ^n }\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} ^n }$ uma transformação linear. Seja $A\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$. nesta seção vamos estudar dois problemas:

• $T(A)\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$?
• Assumindo o item anterior verdadeiro qual a relação entre $\ensuremath{\mathfrak{m} (T(A))}$ e $\ensuremath{\mathfrak{m} (A)}$?

De fato provaremos que $T(A)\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$ e que

$$\ensuremath{\mathfrak{m} (T(A))} =\left\vert det(A)\right\vert$$

Este resultado é conhecido usualmente como teorema de mudança de vari- áveis linear em . O seguinte teorema dá uma resposta positiva ao primeiro problema:

Teorema 3.2.1   Seja $\varphi:\ensuremath {\mathbb{R} ^n }\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} ^n }$ uma aplicação lipschitziana, isto é, existe c>0 tal que

$$\Vert\varphi(x)-\varphi(y)\Vert\le c\,\Vert x-y\Vert$$

Então se $A\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$, $\varphi(A)\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$.

Teorema 3.2.2   Seja $T:\ensuremath {\mathbb{R} ^n }\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} ^n }$ linear e $A\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$. Então

$$\ensuremath{\mathfrak{m} (T(A))} =\left\vert{\rm det}(A)\right\vert\ensuremath{\mathfrak{m} (A)} .$$