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Estando provadas as propriedades mais importantes da medida de Lebesgue
algumas questões pertinentes se colocam. A mais importante delas é o
problema da extensão da medida de Lebesgue. Mais precisamente:
Problema I. Existem
-álgebra
e
uma medida tal que
e
A resposta a este problema é não como mostra o teorema:
Teorema 3.3.1
Se
![$\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } $](img91.gif)
é uma
![$\sigma$](img80.gif)
-álgebra de subconjuntos de
![\ensuremath {\mathbb{R} ^n }](img2.gif)
que contém os cubos e
tal que
então
![$\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } \subseteq \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) } $](img227.gif)
.
Problema II Existe uma medida
sendo
a
-álgebra de
, contendo propriamente
e tal que
Observe que pelo teorema anterior
não pode ser uma restrição da medida exterior de Lebesgue. A resposta neste caso é afirmativa
e segue do resultado:
Teorema 3.3.2 (Kakutani-Oxtoby)
Exite uma
![$\sigma$](img80.gif)
-álgebra
![$\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } \supset \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) } $](img230.gif)
e uma medida
que estende a medida de Lebesgue. Além disto,
![$\mu$](img130.gif)
e
![$\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } $](img91.gif)
satisfazem:
se
![$T\colon \ensuremath {\mathbb{R} ^n }\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} ^n } $](img232.gif)
é uma bijeção tal que
- 1.
-
![$A \in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }\Rightarrow T(A),\:T^{-1}(A)\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) } $](img233.gif)
- 2.
-
![$ A\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }\Rightarrow \mu(T(A))=\mu(A)$](img234.gif)
então,
T satisfaz as mesmas propriedades substituindo-se
![$\ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) } $](img235.gif)
por
![$\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } $](img91.gif)
.
Em particular a extensão de Kakutani-Oxtoby é invariante por isometrias. Por
outro lado a medida de Lebesgue não admite extensões próprias se exigimos
que a extensão seja uma medida regular.
Definição 3.3.1
Uma medida
![$\mu:\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } \rightarrow [0,+\ensuremath{\infty } ]$](img223.gif)
onde
![$\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } $](img91.gif)
é uma
![$\sigma$](img80.gif)
-álgebra de um espaço
topológico que contém os boreleanos é
regular se
Teorema 3.3.3
Se
![$\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } $](img91.gif)
é uma
![$\sigma$](img80.gif)
-álgebra de
![\ensuremath {\mathbb{R} ^n }](img2.gif)
contendo os cubos de
![\ensuremath {\mathbb{R} ^n }](img2.gif)
e
![$\mu\colon\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } \rightarrow [0,+\ensuremath{\infty } ]$](img238.gif)
é uma medida regular tal que
![$\mu(C)=\ensuremath{\mathfrak{m} (C)} $](img239.gif)
para
![$\forall C$](img240.gif)
cubo então
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Aldrovando Azeredo Araujo
1998-03-19