Extensões da medida de lebesgue

Estando provadas as propriedades mais importantes da medida de Lebesgue algumas questões pertinentes se colocam. A mais importante delas é o problema da extensão da medida de Lebesgue. Mais precisamente:

Problema I. Existem $\sigma$-álgebra $\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } '\supseteq \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$ e $\mu:\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } \rightarrow [0,+\ensuremath{\infty } ]$ uma medida tal que

$$\mu(A)=\ensuremath{\mathfrak{m} (A)}\:\: \forall A\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$$

e

$$\mu(A)=\mathfrak{m} ^*(A)\:\:\: A\in \ensuremath\boldsymbol{ ... ...A} } -\ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) } ?$$

A resposta a este problema é não como mostra o teorema:

Teorema 3.3.1   Se $\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} }$ é uma $\sigma$-álgebra de subconjuntos de que contém os cubos e tal que

$$A, B\in \ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } , \:\:\:A\cap B... ... \mathfrak{m} ^*(A\cup B)=\mathfrak{m} ^*(A)+\mathfrak{m} ^*(B)$$

então $\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } \subseteq \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$.

Problema II Existe uma medida

$$\mu:\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } \rightarrow [0,+\ensuremath{\infty } ]$$

sendo $\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} }$ a $\sigma$-álgebra de , contendo propriamente e tal que

$$\mu_{\vert \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) } }=\mathfrak{m} ?$$

Observe que pelo teorema anterior $\mu$ não pode ser uma restrição da medida exterior de Lebesgue. A resposta neste caso é afirmativa e segue do resultado:

Teorema 3.3.2 (Kakutani-Oxtoby)   Exite uma $\sigma$-álgebra $\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } \supset \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$ e uma medida

$$\mu\colon\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } \rightarrow [0,+\ensuremath{\infty } ]$$

que estende a medida de Lebesgue. Além disto, $\mu$ e $\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} }$ satisfazem: se $T\colon \ensuremath {\mathbb{R} ^n }\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} ^n }$ é uma bijeção tal que

1.

$A \in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }\Rightarrow T(A),\:T^{-1}(A)\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$

2.

$A\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }\Rightarrow \mu(T(A))=\mu(A)$

então, T satisfaz as mesmas propriedades substituindo-se $\ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$ por $\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} }$.

Em particular a extensão de Kakutani-Oxtoby é invariante por isometrias. Por outro lado a medida de Lebesgue não admite extensões próprias se exigimos que a extensão seja uma medida regular.

Definição 3.3.1   Uma medida $\mu:\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } \rightarrow [0,+\ensuremath{\infty } ]$ onde $\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} }$ é uma $\sigma$-álgebra de um espaço topológico que contém os boreleanos é regular se $\forall A\in \ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} }$

$$\mu(A)=\inf\left\{\, \mu(U)\:\mid\: U\supset A,\:\:U\:{\rm aberto}\,\right\}$$

Teorema 3.3.3   Se $\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} }$ é uma $\sigma$-álgebra de contendo os cubos de e $\mu\colon\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } \rightarrow [0,+\ensuremath{\infty } ]$ é uma medida regular tal que $\mu(C)=\ensuremath{\mathfrak{m} (C)}$para $\forall C$ cubo então

$$\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } \subset \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$$

$$\mu=\mathfrak{m} _{\vert\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } }.$$