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Nesta seção, X denotará um subconjunto Lebesgue mensurável
de
.
Definição 4.1.1
dizemos que
![$f\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} } $](img243.gif)
é uma função
mensurável se
f-1(
S) úm conjunto Lebesgue mensurável
para todo Boreleano
![$S\subset \ensuremath {\mathbb{R} } $](img244.gif)
.
Corolário 4.1.1
As funções contínuas são mensuráveis.
Neste ponto nos parece natural explicar porque na definição de
função
mensurável usamos na imagem a
-álgebra dos boreleanos e não
a
-álgebra dos mensuráveis como seria de se esperar. A razão é simples.
Adotar
-álgebras maiores na imagem faz aparecer patologias
indesejáveis como por exemplo, funções contínuas não serem
necessariamente mensurveis. O próximo lema exemplifica esta situação:
Lema 4.1.1
Existem um homeomorfismo
![$f\colon [0,1]\rightarrow [0,1]$](img250.gif)
e um
conjunto Lebesgue mensuravel
L tal que
f-1(
L) não é Lebesgue
mensurável.
Exemplo 4.1
O lema
4.1.1 nos permite exibir um conjunto mensurável não
boreleano a saber
Q. De fato, se
Q fose boreleano como
g é contínua
g-1(
Q) seria boreleano. Mas
g-1(
Q) não é nem mensurável, não
podendo portanto ser boreleano.
Definição 4.1.2
Dizemos que uma sequência
![$f_n\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} } $](img252.gif)
,
converge q.t.p. (em quase todo ponto) a
![$f\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} } $](img243.gif)
se existe
![$X_0\subset X$](img254.gif)
com
![$\mathfrak{m} (X_0)=0$](img255.gif)
tal que
para todo
![$x\notin X_0$](img257.gif)
.
Escrevemos então
![$f_n\rightarrow f\:\:q.t.p.$](img258.gif)
Teorema 4.1.2
Se
![$f_n\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} } ,\:\:n\ge 1$](img259.gif)
é uma
sequência de funções mensurveis que converge q.t.p. a
![$f\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} } $](img243.gif)
,
então
f é mensurável.
Teorema 4.1.3
Seja
![$f_n\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} } $](img252.gif)
uma sequência de funções
mensurveis tais que
para todo
x. Então
![$\sup_n\,f_n\colon X\rightarrow\ensuremath {\mathbb{R} } $](img262.gif)
é mensurvel.
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Aldrovando Azeredo Araujo
1998-03-19