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Seja
um conjunto Lebesgue mensurável. Sobre X podemos definir
uma
-álgebra e uma medida sobre esta
-álgebra como segue:
Definição 5.1.1
Denotamos por
![$\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } (X)$](img271.gif)
a família de subconjuntos
![$Y\subset X$](img272.gif)
tal que existe
![$W\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) } $](img273.gif)
satisfazendo
Sobre
![$\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } (X)$](img271.gif)
definimos a função que o leitor pode facilmente verificar ser
uma medida
vai
Como de fato
é a restrição de
sobre os conjuntos
mensuráveis contidos em X, denotaremos
.
Definição 5.1.2
Se
![$f\colon X\rightarrow [0,+\ensuremath{\infty } )$](img279.gif)
é mensurável, definimos a
integral
de f (ou integral de Lebesgue) como:
onde o supremo é tomado sobre todos os conjuntos finitos
![$0<t_1<\cdots<t_m$](img281.gif)
.
Naturalmente, o supremo pode ser
.
dada uma
definimos suas partes positiva e negativa, f+ e f-, como
Então f=f++f-.
Definição 5.1.3
Definimos a
integral de
f como:
quando os dois termos a direita não são ambos
.
Neste caso
a integral
não está definida.
Definição 5.1.4
Dizemos que
f é
integrável se
![\begin{displaymath}
-\ensuremath{\infty } <\,\int\limits_X\,f\,d\,\ensuremath{\mathfrak{m} }\,<+\ensuremath{\infty }\end{displaymath}](img286.gif) |
(5.1) |
Definição 5.1.5
Se
![$A\subset \ensuremath {\mathbb{R} ^n } $](img201.gif)
é um conjunto mensurável definimos a função
![\ensuremath {\mathcal{X}_A\colon \ensuremath {\mathbb{R} ^n } \rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} } }](img287.gif)
via:
que denomina-se de
função característica de A
As seguintes propriedades são elementares e portanto a prova será deixada ao
leitor:
Lema 5.1.1
São verdadeiras:
- 1.
-
- 2.
- Se
,
com
mensuráveis e
vale:
para toda
integrável ou
.
- 3.
- Se
é integrável ou
,
e
então
Teorema 5.1.2 (Convergência Monótona)
Seja
uma sequência de funções que converge
à função
![\ensuremath {f\colon X\rightarrow [0,+\ensuremath{\infty })}](img294.gif)
.
Então:
Teorema 5.1.3 (Lema de Fatou)
Seja
![\ensuremath {f_n\colon X\rightarrow [0,+\ensuremath{\infty })}](img302.gif)
para
![$n\ge 1$](img253.gif)
uma sequência de funções
integráveis. Então
Agora relacionamos a integral de funções simples, isto é
funções da forma
definidas por
onde (Ai)i são disjuntos e mensuráveis, com a integral de uma função
f positiva.
Teorema 5.1.4
Seja
![\ensuremath {g\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} } }](img307.gif)
simples isto é
com
Então
g é integrável se e somente se
tal que
![$\alpha_i\ne 0$](img312.gif)
.
Neste caso
Teorema 5.1.5
Se
![\ensuremath {f\colon X\rightarrow [0,+\ensuremath{\infty })}](img294.gif)
é mensurável, existe uma sequência de
funções simples
![\ensuremath {f_n\colon X\rightarrow [0,+\ensuremath{\infty })}](img302.gif)
tal que
![$f_n\nearrow f$](img315.gif)
em todo
![$x\in
X$](img316.gif)
.
Segue do teorema 5.1.5 que se
é integrável
então
onde fn é definida como na prova do teorema.
Estamos finalmente prontos para provar que a integral é aditiva.
Corolário 5.1.1
Se
![\ensuremath {f,g\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} } }](img319.gif)
são integráveis entaão
af+
bg é integrável para todo
![$a,b\in\ensuremath {\mathbb{R} } $](img320.gif)
e
O próximo teorema é um dos teoremas mais importantes na teoria da integração.
Teorema 5.1.6 (Convergência Dominada)
Seja
![\ensuremath {X\colon f_n\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} } }](img323.gif)
uma sequência de funções integráveis que
converge em q.t.p. a
![\ensuremath {f\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} } }](img324.gif)
. Então se existe
![\ensuremath {g\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} } }](img307.gif)
integrável tal que
f é integrável e
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Aldrovando Azeredo Araujo
1998-03-19