Integração

Seja $X\subset \ensuremath {\mathbb{R} ^n }$ um conjunto Lebesgue mensurável. Sobre X podemos definir uma $\sigma$-álgebra e uma medida sobre esta $\sigma$-álgebra como segue:

Definição 5.1.1   Denotamos por $\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } (X)$ a família de subconjuntos $Y\subset X$tal que existe $W\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$ satisfazendo

$$Y=X\cap W$$

Sobre $\ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } (X)$ definimos a função que o leitor pode facilmente verificar ser uma medida

$$\nu\colon \ensuremath\boldsymbol{ \mathscr{A} } (X)\rightarrow [0,+\ensuremath{\infty }$$

vai

$$\nu(Y)=\ensuremath{\mathfrak{m} (W\cap X)} =\ensuremath{\mathfrak{m} (Y)}$$

Como de fato $\nu$ é a restrição de $\mathfrak{m}$ sobre os conjuntos mensuráveis contidos em X, denotaremos $\nu=\mathfrak{m}$.

Definição 5.1.2   Se $f\colon X\rightarrow [0,+\ensuremath{\infty } )$ é mensurável, definimos a integral de f (ou integral de Lebesgue) como:

$$\int\limits_X f\,d\,\ensuremath{\mathfrak{m} }\,=\,\sup\,\ens... ...=1}^{m-1}}\,t_i\ensuremath{\mathfrak{m} } (f^{-1}(t_i,t_{i+1}])$$

onde o supremo é tomado sobre todos os conjuntos finitos $0<t_1<\cdots<t_m$.

Naturalmente, o supremo pode ser $+\ensuremath{\infty }$. dada uma $f\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} }$definimos suas partes positiva e negativa, f⁺ e f^-, como

$$f^+(x)=\max\,\{f(x),0\}$$

$$f^-(x)=\min\,\{f(x),0\}$$

Então f=f⁺+f^-.

Definição 5.1.3   Definimos a integral de f como:

$$\int\limits_X f\,d\,\ensuremath{\mathfrak{m} } =\int\limits_X... ...frak{m} } -\int\limits_X\,(-f^-)\,d\,\ensuremath{\mathfrak{m} }$$

quando os dois termos a direita não são ambos $+\ensuremath{\infty }$. Neste caso a integral não está definida.

Definição 5.1.4   Dizemos que f é integrável se

$$-\ensuremath{\infty } <\,\int\limits_X\,f\,d\,\ensuremath{\mathfrak{m} }\,<+\ensuremath{\infty }$$ (5.1)

Definição 5.1.5   Se $A\subset \ensuremath {\mathbb{R} ^n }$ é um conjunto mensurável definimos a função via:

$$\mathcal{X}_A=\begin{cases}1 & \;\;{\rm se} \;\; x\in A\\ &\\ 0 & \;\;{\rm se} \;\; x\notin A \end{cases}$$

que denomina-se de função característica de A

As seguintes propriedades são elementares e portanto a prova será deixada ao leitor:

Lema 5.1.1   São verdadeiras:

1.

$\int\limits_X \mathcal{X}_A d\,\ensuremath{\mathfrak{m} } =\ensuremath{\mathfrak{m} } (A\cap X)$

2.

Se $X=A\cup B$, com $A,\,B$ mensuráveis e $\ensuremath{\mathfrak{m} } (A\cap B)=0$ vale:

$$\int\limits_{A\cup B} fd\,\ensuremath{\mathfrak{m} } =\int\li... ...{\mathfrak{m} } +\int\limits_B f\,d\,\ensuremath{\mathfrak{m} }$$

para toda $f\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} }$ integrável ou $\ge 0$.

3.

Se é integrável ou $\ge 0$, e

$$M_1\le f(x)\le M_2\qquad {\rm q.t.p.}\:\:x$$

então

$$M_1\:\ensuremath{\mathfrak{m} } (X)\le \int\limits_X f\,d\,\ensuremath{\mathfrak{m} }\le M_2\ensuremath{\mathfrak{m} } (X).$$

Teorema 5.1.1   Sejam , mensuráveis tais que $g\ge f$ q.t.p. Então

$$\ensuremath {\int\limits_{X}\,g\,d\ensuremath{\mathfrak{m} }}\le \ensuremath {\int\limits_{X}\,f\,d\ensuremath{\mathfrak{m} }}$$

Teorema 5.1.2 (Convergência Monótona)   Seja
uma sequência de funções que converge à função . Então:

$$\ensuremath {\int\limits_{X}\,f\,d\ensuremath{\mathfrak{m} }}... ...nsuremath {\int\limits_{X}\,f_n\,d\ensuremath{\mathfrak{m} }} .$$

   

Teorema 5.1.3 (Lema de Fatou)   Seja para $n\ge 1$ uma sequência de funções integráveis. Então

$$\ensuremath {\int\limits_{X}\,\liminf\limits_{n\to +\ensurema... ...nsuremath {\int\limits_{X}\,f_n\,d\ensuremath{\mathfrak{m} }} .$$

Agora relacionamos a integral de funções simples, isto é funções da forma definidas por

$$g(x)=\ensuremath{ \mathop{\pmb{\sum}}_{i=1}^{k}}\alpha_i\mathcal{X}_{A_i}$$

onde (A_i)_i são disjuntos e mensuráveis, com a integral de uma função f positiva.

Teorema 5.1.4   Seja simples isto é

com

$$X=\bigcup\limits_{i=1}^k A_i.$$

Então g é integrável se e somente se

tal que $\alpha_i\ne 0$. Neste caso

$$\ensuremath {\int\limits_{X}\,g\,d\ensuremath{\mathfrak{m} }}... ...p{\pmb{\sum}}_{i=1}^{n}}\alpha_i\ensuremath{\mathfrak{m} (A_i)}$$

Teorema 5.1.5   Se é mensurável, existe uma sequência de funções simples tal que $f_n\nearrow f$ em todo $x\in X$.

Segue do teorema 5.1.5 que se é integrável então

$$\ensuremath {\int\limits_{X}\,f\,d\ensuremath{\mathfrak{m} }}... ...\ensuremath {\int\limits_{X}\,f_n\,d\ensuremath{\mathfrak{m} }}$$

onde f_n é definida como na prova do teorema. Estamos finalmente prontos para provar que a integral é aditiva.

Corolário 5.1.1   Se são integráveis entaão af+bg é integrável para todo $a,b\in\ensuremath {\mathbb{R} }$ e

$$\ensuremath {\int\limits_{X}\,af+bg\,d\ensuremath{\mathfrak{m... ...+b\ensuremath {\int\limits_{X}\,g\,d\ensuremath{\mathfrak{m} }}$$

O próximo teorema é um dos teoremas mais importantes na teoria da integração.

Teorema 5.1.6 (Convergência Dominada)   Seja uma sequência de funções integráveis que converge em q.t.p. a . Então se existe integrável tal que

$$\ensuremath{ \left\vert f_n\right\vert}\le g\qquad \forall n\qquad q.t.p$$

f é integrável e

$$\ensuremath{\lim\limits_{n\to +\infty }}\ensuremath {\int\lim... ...\ensuremath {\int\limits_{X}\,f\,d\ensuremath{\mathfrak{m} }} .$$