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Seja X um conjunto. Denotamos por
a família de todos os subconjuntos de X.
Definição 2.2.1
Uma
medida exterior sobre o espço
X é uma função
![$\mu^*:\boldsymbol{ \mathscr{S}}(X)\mapsto [0, +\infty]$](img103.gif)
tal que
- 1.
-
![$A\subset B\Rightarrow \, \mu^*(A)\le \mu^*(B)$](img104.gif)
- 2.
-
Se além disto
satisfizer
- 3.
-
![$\mu^*(A\cup B)=\mu^*(A)+\mu^*(B)\quad \text{sempre que}\quad d(A,B)>0$](img107.gif)
dizemos que
![$\mu^*$](img106.gif)
é uma medida exterior métrica.
Motivados pela definição de conjunto Lebesgue mensurável estabelecemos a
seguinte definição de conjunto
-mensurável:
Definição 2.2.2
Dizemos que
![$A\subset X$](img108.gif)
é
![$\mu^*$](img106.gif)
-mensurável se
para todo par
(
A1,
A2) separado por
A, isto é
![$A_1\subset A\: A_2\subset
A^c$](img110.gif)
,
e
![$\mu^*(A_i)< +\infty$](img111.gif)
para
i=1,2
Denotamos por
a família dos
conjuntos
-mensuráveis.
A prova deste teorema é uma repetição das provas do
teorema 1.2.2 e do teorema 1.2.3, trocando-se
por X e
por
.
No caso de X ser um espaço
métrico, ainda resta a questão de se saber se todo fechado está em
.
Caso seja verdade, repetindo-se os
argumentos da seção anterior, obteríamos que
conteria a
-álgebra dos Boreleanos de X,
denotada por
,
e definida (como no caso de
)
como a
-álgebra gerada pelos conjuntos fechados (ou equivalentemente, pelos abertos).
A resposta a esta questão é fornecida pelo seguinte teorema.
Teorema 2.2.2
Seja
X um espaço métrico e
![$\mu^*$](img106.gif)
uma medida exterior sobre
X.
Então
![$\forall \ A,\ B\subset X$](img116.gif)
tais que
d(
A,
B)>0.
Definição 2.2.3
Uma uma medida sobre
os boreleanos de
X
![$\mu:\boldsymbol{ \mathscr{B} }(X)\mapsto [0,+\infty]$](img118.gif)
que satisfaz
denomina-se de uma
probabilidade de Borel.
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Aldrovando Azeredo Araujo
1998-03-19