Medida exterior métrica

Seja X um conjunto. Denotamos por $\boldsymbol{ \mathscr{S}}(X)$ a família de todos os subconjuntos de X.

Definição 2.2.1   Uma medida exterior sobre o espço X é uma função
$\mu^*:\boldsymbol{ \mathscr{S}}(X)\mapsto [0, +\infty]$ tal que

1.

$A\subset B\Rightarrow \, \mu^*(A)\le \mu^*(B)$

2.

$\mu^*(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i)\le \mathop{\pmb{\sum}}\limits_{i=1}^\infty \mu^*(A_i)$

Se além disto $\mu^*$ satisfizer

3.

$\mu^*(A\cup B)=\mu^*(A)+\mu^*(B)\quad \text{sempre que}\quad d(A,B)>0$

dizemos que $\mu^*$ é uma medida exterior métrica.

Motivados pela definição de conjunto Lebesgue mensurável estabelecemos a seguinte definição de conjunto $\mu^*$-mensurável:

Definição 2.2.2   Dizemos que $A\subset X$ é $\mu^*$-mensurável se

$$\mu^*(A_1\cup A_2)=\mu^*(A_1)+\mu^*(A_2)$$

para todo par (A₁, A₂) separado por A, isto é $A_1\subset A\: A_2\subset A^c$, e $\mu^*(A_i)< +\infty$ para i=1,2

Denotamos por $\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mu^*)$ a família dos conjuntos $\mu^*$-mensuráveis.

Teorema 2.2.1   $\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mu^*)$ é uma $\sigma$-álgebra e $\mu^*\bigr\vert \boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mu^*)$ é uma medida.

A prova deste teorema é uma repetição das provas do teorema 1.2.2 e do teorema 1.2.3, trocando-se ${\mathbb R}^n$por X e $\mathfrak{m} ^*$ por $\mu^*$. No caso de X ser um espaço métrico, ainda resta a questão de se saber se todo fechado está em $\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mu^*)$. Caso seja verdade, repetindo-se os argumentos da seção anterior, obteríamos que $\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mu^*)$ conteria a $\sigma$-álgebra dos Boreleanos de X, denotada por $\boldsymbol{ \mathscr{B} }(X)$, e definida (como no caso de ${\mathbb R}^n$) como a $\sigma$-álgebra gerada pelos conjuntos fechados (ou equivalentemente, pelos abertos). A resposta a esta questão é fornecida pelo seguinte teorema.

Teorema 2.2.2   Seja X um espaço métrico e $\mu^*$ uma medida exterior sobre X. Então

$$\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mu^*)\supset \boldsymbol{ \mathscr{B} }(X) \Longleftrightarrow \mu^*(A\cup B)=\mu^*(A)+\mu^*(B)$$

$\forall \ A,\ B\subset X$ tais que d(A,B)>0.

Definição 2.2.3   Uma uma medida sobre os boreleanos de X $\mu:\boldsymbol{ \mathscr{B} }(X)\mapsto [0,+\infty]$ que satisfaz

$$\mu(X)=1$$

denomina-se de uma probabilidade de Borel.