Base de um Espaco Vetorial

1.4 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL

Conforme vimos no exemplo 1.3.14 da subunidade anterior, dado um conjunto a = {v₁, v₂, ..., v_n} de geradores de um espaço vetorial V, sempre é possível obter a partir deste um conjunto b que contenha um número mínimo de geradores de V. Tal conjunto b será formado pelos vetores de a que são l.i. Ao encontrarmos tais vetores teremos os alicerces de nosso espaço, ou seja, o espaço será formado a partir deles. Naturalmente, muitos são os conjuntos de vetores desse tipo e a tais conjuntos damos o nome de base.

1.4.1 Definição.

Um conjunto {v₁, v₂, ..., v_n} de vetores de um espaço vetorial V é uma base de V se:

(i) {v₁, v₂, ..., v_n} é l.i.

(ii) [v₁, v₂, .., v_n] = V

Nota. Existem espaços que não tem base finita como, base de Rⁿ por exemplo, certos espaços de funções. Espaços com esta característica não serão objeto de estudo nessa disciplina.

1.4.2 Exemplo.

· V = R², i = (1, 0) e j = (0, 1).

a = {i, j} é uma base de R², conhecida como base canônica, pois

(i) a é l.i.

(ii) a gera o R² (ver exemplo 1.3.8)

· V = R², b = {(1, 1), (0, 1)} também é uma base de R², pois

(i) Os vetores de b não são múltiplos, isto é, (1, 1) ¹ a (0, 1) para todo aÎ R; assim b é l.i.

(ii) Todo vetor v = (x, y) Î R² pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1, 1) e (0, 1). Vejamos como:

(x, y) = a (1, 1) + b (0, 1)

então .

Portanto v = x (1, 1) + (y – x) (0, 1).¨

Observemos que os escalares obtidos ao escrevermos v como combinação linear dos vetores de a são diferentes dos escalares obtidos quando v foi escrito como combinação linear dos vetores de b .

Faremos uma interpretação geométrica deste fato no exemplo que segue.

1.4.3 Exemplo. Sejam a = {(1, 0), (0, 1)} e b = {(1, 1), (0, 1)} as bases do R² citadas no exemplo anterior. Para v = (x, y) Î R², temos:

(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1)

e também

(x, y) = x (1, 1) + (y – x) (0, 1)

Tomando, como um caso particular, v = (3, 4) temos:

(3, 4) = 3 (1, 0) + 4 (0, 1)

(3, 4) = 3 (1, 1) + 1 (0, 1).

O que isto significa ?

base4.gif (1611 bytes)

No caso de considerarmos a base

a = {i = (1, 0), j = (0, 1)} do R²,

temos que o vetor v é o resultante da soma

3i + 4j

e dizemos que em relação a base a , as coordenadas de v são 3 e 4.

base3.gif (1773 bytes)

Agora, se considerarmos a base

b = {v₁ = (1, 1), v₂ = (0, 1)} do R²,

temos o vetor v com resultante da soma

3v₁ + 1v₂

e dizemos que, em relação a base b , as coordenadas de v são 3 e 1.

Observemos que a posição geométrica do vetor v independe da base que o "criou". No entanto, as suas coordenadas dependem do referencial adotado.

Aproveitamos este exemplo para enunciar o teorema e a definição que seguem.

1.4.4 Teorema.

Fixada uma base b = {v₁, v₂, .., v_n} de um espaço vetorial V, cada vetor v Î V se escreve de forma única como combinação linear dos vetores da base b , isto é, existem e são únicos os escalares a₁, a₂, ..., a_n, tal que

v = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n

Prova.

A prova deste teorema encontra-se na Propriedade 7, item 1.3.12.

1.4.5 Definição.

Os escalares a₁, a₂, .., a_n, que comparecem no teorema anterior, são chamados coordenadas de v em relação à base b . Usamos, como expressão dessa idéia, a notação

que é lida do seguinte modo: as coordenadas do vetor v, em relação a base b, são a₁, a₂, ... e a_n.

1.4.6 Exemplo. No caso tratado no exemplo 1.4.3 temos .

1.4.7 Exemplo. O conjunto a = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} = {i, j, k} é uma base de R³, conhecida como base canônica do R³, pois

(i) a é l.i pois

(ii) a gera o R³ pois todo vetor v = (x, y, z) Î R³ pode ser escrito na forma v = xi + yj + zk.

Nesse caso, as coordenadas do vetor v são as próprias componentes e escrevemos .

Se particularizarmos tomando v = (2, 3, – 1) temos

(2, 3, – 1) = 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) – 1(0, 0, 1)

escrevemos

[(2, 3, – 1)]_a = .¨

1.4.8 Exemplo. O conjunto b = {(1, 2, 1), (– 1, 0, 1), (1, 2, 0)} é também uma base de R³. Para verificar, observemos que b é um conjunto de R³ que contém 3 vetores, assim, pela Propriedade 7 em 1.3.12, basta mostrar que b é l.i.

, de modo que b gera o R³.¨

1.4.9 Exemplo. Consideremos o mesmo vetor v = (2, 3, – 1) do exemplo 1.4.7 para encontrar [v]_b . As coordenadas de v, em relação à base, serão dadas pelos números a, b e c que satisfazem a relação

(2, 3, – 1) = a (1, 2, 1) + b (– 1, 0, 1) + c (1, 2, 0).

Resolvendo o sistema aqui obtido temos (confira)

Então:

[(2, 3, –1)]_b = .¨

Nota. Uma vez fixada uma base em um espaço, a ordem em que os vetores comparecem na base também fica fixada. Notem que se tomarmos a base b₁ = {(– 1, 0, 1), (1, 2, 0), (1, 2, 1)} e v = (2, 3, – 1) temos:

e = ¹ [(2, 3, –1)]_b.

Apesar das bases b e b₁ diferirem apenas pela ordem dos vetores, as coordenadas de v na base b são diferentes das coordenadas de v na base b₁. Por este motivo consideramos uma base como um conjunto ordenado de vetores.

1.4.10 Exemplo. O conjunto b₂ = {(1, 2, 1), (– 1, 0, 1)} não é uma base de R³ pois sabemos que dois vetores l.i. geram um plano, de forma que a condição (ii) da definição de base não fica satisfeita.

No entanto, b₂ é uma base do subespaço

W = {(x, y, z) / x – y + z = 0} Ì R³.

Para sabermos como obter W podemos, por exemplo, proceder como no segundo exemplo da observação da Propriedade 2, do item 1.3.12.

1.4.11 Exemplo. Para exibir uma base de W, partindo do conhecimento do subespaço W do exemplo anterior, retiramos dele um conjunto de geradores e selecionamos deste conjunto os vetores l.i.

Assim: W = {(y – z, y, z) / y, z Î R}

e o seu vetor genérico, (y – z, y, z), pode ser escrito como a combinação linear:

( y – z, y, z) = y (1, 1, 0) + z (– 1, 0 , 1).

Com isso, temos que W = [(1, 1, 0), (– 1, 0, 1)] e sendo {(1, 1, 0), (– 1, 0, 1)} l.i, concluímos que

b₃ = {(1, 1, 0), (– 1, 0, 1)}

é uma base de W.¨

Observemos que b₃ ¹ b₂, o que não é um problema, visto que existem infinitas bases de W. (b₂ é a base do exemplo anterior). Outras bases para W podem ser obtidas atribuindo-se valores quaisquer para y e z, desde que y ¹ 0 ou z ¹ 0. Para complementar e enriquecer este exemplo, exibam outras duas bases b₄ e b₅ para W.

1.4.12 Exemplo. Uma base natural do espaço M₂₂ é

Para mostrarmos que

também uma base de M₂₂, podemos utilizar a propriedade 1 do item que segue.

1.4.13 Propriedade. Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado dimensão de V e denotado por dim V.

Voltando ao exemplo 1.4.12. Tendo na base b, 4 vetores, temos dim M₂₂ = 4 e, pela propriedade acima, qualquer outra base de M₂₂ deve conter 4 vetores. Obviamente os 4 vetores devem ser l.i. (condição (i) da definição de base) e gerar M₂₂(condição (ii)).

A condição (ii) ficará automaticamente satisfeita ao provarmos que a condição (i) é verdadeira. Isto pode ser verificado escrevendo b₁ na forma

b₁ = {(1, – 1, 1, 1), (2, 1, 0, 1), (– 1, 2, 1, 0), (1, 2, 2, 1)}

e aplicando sobre b₁ a Propriedade 7 do item 1.3.12, que, nesse caso, afirma o seguinte:

" Qualquer conjunto de 4 vetores l.i. em R⁴ gera o R⁴."

Assim, para mostrar que b₁ é uma base de R⁴ (ou M₂₂), basta provarmos que b₁ é l.i. Deixamos isto a cargo do aluno.

De forma genérica, podemos enunciar a propriedade que segue.

1.4.14 Propriedade. Se dim V = n, então qualquer conjunto de V formado por n vetores l.i. é uma base de V.

Exemplo. Já vimos, no exemplo 1.3.6, que o espaço vetorial

P₃ = {p(x) / p(x) = a .1 + b. x + c. x² + d. x³},

é gerado pelos vetores 1, x, x², x³.

Relacionando estes vetores com as quádruplas ordenadas (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) e (0, 0, 0, 1) vemos que os mesmos são l.i. assim,

{1, x, x², x³}

é uma base de P₃ e dim P₃ = 4.

Tomemos, agora, um conjunto

a = {2 + 3x, – 1 + 2x – x³, 3x² + 2x³, 3 – 4x³}

de vetores de P₃. Para verificar se a é também uma base de P₃ basta verificar a dependência ou independência linear dos vetores de a , pois sendo dim P₃ = 4, qualquer outro conjunto de P₃ formado por 4 vetores l.i. é também uma base de P₃.

No exemplo 1.3.15(b) verificamos que a é l.i e, portanto, a é uma base de P₃.¨

1.4.15 Mudança de Base.

Muitos problemas complicados podem ser simplificados mudando-se de um sistema de coordenadas para outro. Mudar o sistema de coordenadas em um espaço vetorial é, essencialmente, a mesma coisa que mudar de base. No caso de um problema em que um corpo se move no plano xOy, cuja trajetória é uma elipse de equação

x² + xy + y² –3 = 0 (figura (a))

a descrição do movimento torna-se muito simplificada se ao invés de trabalharmos com o referencial determinado pela base formada por
i = (1, 0) e j = (0, 1), utilizamos um referencial que se apoia nos eixos principais da elipse, sendo este determinado pela base {v₁, v₂}. Neste novo referencial, a equação da trajetória será mais simples:

3x₁² + 2y₁² = 6 (figura (b))

Numa situação desse tipo, temos duas questões a responder:

Como escolher o novo referencial ?

Uma vez escolhido, qual a relação entre as coordenadas de um ponto (ou vetor) no antigo referencial (definido por uma base) e suas coordenadas no novo (definido por outra base) ?

A primeira questão envolve conteúdos ainda não desenvolvidos e será respondida em outro momento. Agora, veremos como solucionar a segunda questão, ou seja, dadas duas bases a e b de um espaço vetorial V, pretende-se estabelecer a relação entre as coordenadas de um vetor v em relação à base a ([v]_a ) e as coordenadas do mesmo vetor em relação à base b ([v]_b ). Para facilitar, consideraremos o caso em que dim V = 2. O problema para espaços vetoriais de dimensão n é análogo.

Sejam a = {v₁, v₂} e b = {w₁, w₂} duas bases de V. Dado um vetor v Î V, este será combinação linear dos vetores das bases a e b :

v = x₁v₁ + x₂v₂ ou [v]_a = (1)

v = y₁w₁ + y₂w₂ ou [v]_b = . (2)

Por outro lado, sendo b uma base de V, podemos escrever cada vetor da base a como combinação linear dos vetores da base b . Assim:

. (3)

Substituindo (3) em (1) temos:

v = x₁ (a₁₁w₁ + a₂₁w₂) + x₂ (a₁₂w₁ + a₂₂w₂)

v = (a₁₁x₁ + a₁₂x₂) w₁ + (a₂₁x₁ + a₂₂x₂) w₂. (4)

Comparando as igualdades (4) e (2) e lembrando que as coordenadas de um vetor em relação a uma base são únicas, temos:

ou na forma matricial,

. (5)

Fazendo

a equação matricial (5) pode ser escrita assim:

. (6)

A finalidade da matriz , chamada matriz de mudança de base de a para b , é transformar as coordenadas de um vetor qualquer v, na base a , em coordenadas do mesmo v, na base b .

Se quisermos transformar [v]_b em [v]_a , multiplicamos, à esquerda, ambos os membros da equação (6) pela inversa da matriz , que fornece

de onde observamos que .¨

Nota. Observamos que cada coluna da matriz é o vetor das coordenadas do correspondente vetor da base a , em relação a base b .

Para o caso das bases a = {v₁, v₂} e b = {w₁, w₂} temos

Exemplo 1. Sendo a = {(1, 3), (1, – 2)} e b = {(3, 5), (1, 2)} bases de R², a matriz é determinada da seguinte forma:

1^o) Escrevendo cada vetor de a como combinação linear dos vetores de b , temos

(1, 3 ) = a (3, 5) + b (1, 2) e

(1, – 2) = c (3, 5) + d (1, 2),

assim a matriz mudança de base de a para b será

2^o) Resolvendo as equações acima obtemos a = – 1, b = 4, c = 2 e d = – 6, de modo que

.¨

Conhecida a matriz podemos obter por uma das formas:

Escrevendo cada vetor da base b como combinação linear dos vetores de a e procedendo como acima.

Achamos a matriz inversa da matriz .

Por qualquer uma das formas obtemos:

Exemplo 2. Sabendo que [v]_a = , calcular [v]_b , onde a e b são as bases do exemplo anterior.

[v]_b = [v]_a

Então,

[v]_b = .¨

Como exercício, considere [v]_b = e encontre, usando , as coordenadas de v em relação à base a .

Exemplo 3. Se a = {(1, 0), (0, 1)} e b = {(1, – 2), (1, 2)} são as bases agora consideradas, então ou seja, as colunas da matriz são formadas pelos componentes dos vetores da base b .

Confirme esse fato, procedendo como no exemplo 1 anterior.

Exemplo 4. Consideremos H o conjunto de todos os vetores da forma (a – 3b, b – a, a, b), onde a e b são escalares arbitrários. Isto é,

H = {(a – 3b, b – a, a, b); a, b Î R}.

· Verifiquemos que H é subespaço do R⁴.

Sejam u = (a – 3b, b – a, a, b), v = (c – 3d, d – c, c, d) elementos de H e a Î R.

0 = (0, 0, 0, 0) Î H;

u + v = (a + c – 3(b + d), (b + d) – (a + c), a + c, b + d) Î H;

a u = (a a – 3a b, a b – a a, a a, a b) Î H.

· Encontremos duas bases b₁ e b₂ de H.

(a – 3b, b – a, a, b) = a(1, – 1, 1, 0) + b(– 3, 1, 0, 1)

\ H = [(1, – 1, 1, 0), (– 3, 1, 0, 1)]

Como {(1, – 1, 1, 0), (– 3, 1, 0, 1)} é l.i. temos que b₁ pode ser, por exemplo, esse conjunto.

Para obter outra base de H basta tomar outros dois quaisquer vetores, l.i., de H. Para isso, na expressão do vetor genérico de H, vamos escolher a = – 2 e b = 0 e depois a = 0 e b = –1 temos assim

b₂ = {(– 2, 2, – 2, 0), (3, – 1, 0, – 1)}.

· Tomando o vetor u = (0, 2, – 3, – 1) de H, vamos escrever as coordenadas de u, primeiro em relação a b₁ e depois em relação a b₂. Escrevendo u como combinação linear dos vetores de b temos

(0, 2, – 3, – 1) = r(1, – 1, 1, 0) + s(– 3, 1, 0, 1) Þ .