1.4 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL

 

 

E.24 Quais dos conjuntos de vetores abaixo são base para R2?

a) {(1, 3), (– 1, 1)} b) {(0, 0), (1, 2), (– 1, 3)}
c) {(1, 2), (2, – 3), (3, 2)} d) {(1, 3), (– 2, 6)}

 

E.25 Quais dos seguintes conjuntos de vetores são base para P2?

a) {– t2 + t + 2, 2t2 + 2t + 3, 4t2 – 1} b) {t2 + 2t – 1, 2t2 + 3t – 2}
c) {t2 + 1, 3t2 + 2t, 3t2 + 2t + 1, 6t2 + 6t + 3} d) {3t2 + 2t + 1, t2 + t + 1, t2 + 1}

 

E.26 Quais dos seguintes conjuntos de vetores são base para M22?

a) b) , com abcd ¹ 0.
c) d)

 

E.27 Estenda cada conjunto abaixo, de modo a obter uma base para o espaço indicado.

V = R2; b1 = {(1, – 1)}

V = R3; b2 = {(1, 2, 1), (2, 0, – 1)}

V = R4; b3 = {(1, – 1, 0, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, – 2)}

 

E.28 Encontre todos os valores de a para os quais {(a2, 0, 1), (0, a, 2), (1, 0, 1)} é uma base para R3.

 

E.29 Seja S = {v1, v2, v3, v4}, onde v1 = (1, 2, 2), v2 = (3, 2, 1), v3 = (11, 10, 7) e v4 = (7, 6, 4). Encontre uma base para o subespaço W =[ S ] de R3. Quanto é dim W?

 

E.30 Encontre uma base em R4 para o conjunto S = {(x, y, z, t) Î R4; x = 3t, y = – 2t, z = t} e dar dim S.

 

E.31 Encontre uma base para o espaço solução do sistema homogêneo:
a) b)

 

E.32 Encontre uma base e a dimensão para o subespaço D de M33 formado por todas as matrizes diagonais.

E.33 Dê um exemplo de um subespaço bidimensional de:
a) R4 b) P3

 

E.34 Escreva a base canônica dos espaços:
a) R2 b) R3 c) M22 d) P3

 

E.35 Encontre uma base para o subespaço S de R4 formado por todos vetores da forma (a + b, a – b + 2c, b, c) onde a, b, c Î R. Qual a dimensão de S ?

 

E.36 Seja U o subespaço do R4 formado pelos vetores da forma (u1, u2, 0, 0) e seja V o subespaço de todos os vetores da forma (0, v2, v3, 0). Quais as dimensões de U, V e UÇ V ? Encontre uma base para cada um desses subespaços.

 

E.37 Em cada caso abaixo, calcule o vetor de coordenadas do vetor v em ralação a base S.
a)
b) v = (2, – 1, – 2); S = {(1, – 1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 2)}

c) v = t + 4; S = { t + 1, t – 2 }		 d)

 

E.38 Em cada caso abaixo, calcule o vetor v, dado o vetor coordenadas [v]S e a base S.

a) b)
c) d)

 

E.39 Sejam bases para R3. Sejam .

a) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à base T.

b) Qual é a matriz mudança de base da base T diretamente para a base S?

c) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à base S; usando .

d) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à base S diretamente.

 

E.40 Sejam S = {t + 1, t – 2} e T = {t – 5, t – 2} bases para P1. Sejam v = 4t + 5 e w = – 6.

Repita os itens de a) a d) do E.39.

 

E.41 Sejam bases para M22. Se v está em M22 e , encontre [v]S.

 

E.42 Sejam S = {(– 1, 2, 1), (0, 1, 1), (– 2, 2, 1)} e T = {(– 1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} bases para R3. Se vÎ R3 e , encontre [v]T.

 

E.43 Sejam S = {v1, v2, v3} e T = {w1, w2, w3} bases para R3, onde v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1).

Se a matriz mudança de base de T para S é encontre T.

 

 

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