. Escolha qualquer
vetor w Î 1.4 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL (GABARITO)
RE.24 São bases os conjuntos indicados em (a) e (d).
| RE.25 (d) | RE.26 (b) |
RE.27 a) Escolha qualquer outro vetor u Î
R2 que não seja múltiplo de (1, – 1).b) . Escolha qualquer
vetor w Î
c) Use o mesmo argumento do item anterior.
RE.28 a ¹ 0 e a ¹ ± 1.
RE.29 1o) Encontrar W:
2o) Encontrar uma base para W:
.
Como (5/2, 1, 0) e (– 2, 0, 1) geram W e são l.i., temos que b
1 = {(5/2, 1, 0), (– 2, 0, 1)}.A dimensão de W é 2 pois temos 2 vetores na base.
RE.30 Escreva o vetor genérico, encontre os vetores geradores e construa a base conforme o exercício anterior, item b. Uma base: b = {(3, – 2, 1, 1)} e dim S = 1.
| RE.31 a) b1 não existe | b) b2 = {(3, 1, 0), (– 2, 0, 1)} |
RE.32 
, dim D = 3.
RE.35 (a + b, a – b + 2c, b, c) = a(1, 1, 0, 0) + b(1, – 1, 1, 0) + c(0, 2, 0, 1)
b = {(1, 1, 0, 0), (1, – 1, 1, 0), (0, 2, 0, 1)} e dim S = 3.
RE.36 Para U: (u
1, u2, 0, 0) = u1(1, 0, 0, 0) + u2(0, 1, 0, 0)b
U = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)} e dim U = 2.Para V: (0, v
2, v3, 0) = v2(0, 1, 0, 0) + v3(0, 0, 1, 0)b
V = {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} e dim V = 2.Para UÇ V: (0, w
2, 0, 0) = w2(0, 1, 0, 0)b
UÇV = {(0, 1, 0, 0)} e dim UÇ V = 1.
RE.37 a)  |
b) (2, – 1, – 2) = a(1,
– 1, 0) + b(0, 1, 0) + c(1, 0, 2)
|
|
c) t + 4 = a(t
+ 1) + b(t – 2) Þ a = 2; b =
– 1 \  . |
||
d) (1, 3, – 2, 2) = a(1, – 1, 0, 0) + b(0, 1, 1, 0) + c(1, 0, 0, – 1) + d(1, 0, – 1, 0)
Þ
a = – 1; b = 2; c = – 2; d = 4. Daí, 
.
Podemos utilizar as matrizes na forma 2x2:
.
| RE.38 a) (x, y) = 1(2, 1) + 2(– 1, 1) (x, y) = (0, 3) |
b)  |
c) v = 4t – 3 |
d)  |
RE.39
a)  |
b)  |
|
e |
 |
|
| d) [v]S: (1, 3, 8) = a(1, 0, 1) + b(–
1, 0, 0) + c(0, 1, 2) |
[w]S: (– 1, 8, – 2) = a(1, 0, 1) + b(– 1, 0, 0) + c(0,
1, 2)
|
|
RE.40 a)  e  |
b)  |
|
 |
d) [v]S: (4, 5) = a(1, 1) + b(1, –
2) [w] S: (0, – 6) = a(1, 1) + b(1, – 2) |
|
RE.41 
. Assim,
devemos encontrar 
.
Escrevendo cada vetor de T como combinação linear dos vetores de S temos:
| S = {(– 1, – 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1),
(0, – 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0)} T = {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, – 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1)} |
Þ  |
E, dessa forma, \ 
.
RE.42 
.
RE.43 S = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)} e T = {(w
1, w2, w3}Se 
temos que cada coluna corresponde a um vetor de T escrito como combinação linear dos vetores de S.
Assim,
w
1 = 1(1, 0, 1) + 2(1, 1, 0) – 1(0, 0, 1) \ w1 = (3, 2, 0)w
2 = 1(1, 0, 1) + 1(1, 1, 0) – 1(0, 0, 1) \ w2 = (2, 1, 0)w
3 = 2(1, 0, 1) + 1(1, 1, 0) + 1(0, 0, 1) \ w3 = (3, 1, 3)Logo, T = {(3, 2, 0), (2, 1, 0), (3, 1, 3)}.
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e
.
