1.4 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL

 

 

            Para determinar se um conjunto S = {v1, v2, ..., vk} é uma base para um espaço vetorial V, a definição diz que precisamos verificar se
[ S ] = V e se S é l.i. No entanto, se soubermos que dim V = k, então pela propriedade 1.4.14 precisamos apenas verificar se S é l.i.

 

ML.12 Usando o MATLAB verifique se S é uma base para V.

a) S = {(1, 2, 1), (2, 1, 1), (2, 2, 1)} em V = R3;

b) S = {(2t – 2, t2 – 3t + 1, 2t2 – 8t + 4} em V = P2;

c) S= {(1, 1, 0, 0), (2, 1, 1, – 1), (0, 0, 1, 1), (1, 2, 1, 2)} em V = R4;

d) S = {(1, 2, 1, 0), (2, 1, 3, 1), (2, – 2, 4, 2)} em V = [ S ];

e) S= {(1, 2, 1, 0), (2, 1, 3, 1), (2, 2, 1, 2)} em V = [ S ].

 

ML.13 Use o comando rref ou escal para encontrar um subconjunto de S que é uma base para [ S ].

S = {(1, 1, 0, 0), (– 2, – 2, 0, 0), (1, 0, 2, 1), (2, 1, 2, 1), (0, 1, 1, 1)}

Quanto é dim [ S ]? [ S ] = R4?

S =.

Quanto é dim [ S ] ? [ S ] = M22?

S = {t – 2, 2t – 1, 4t – 2, t2 – t + 1, t2 + 2t + 1}

Quanto é dim [ S ]? [ S ] = P2?

 

            Obter as coordenadas de um vetor em relação a uma base é um problema de combinação linear. Para tal, construímos o sistema linear correspondente e podemos usar as rotinas escal ou rref do MATLAB para encontrar a sua solução.

 

ML.14 Seja V = R2 e seja S = . Mostre que S é uma base para V e encontre [v]S para os seguintes vetores:

a) b) c)

 

ML.15 Seja V = M22 e seja S = . Mostre que S é uma base para V e encontre [v]S para os vetores:

a) b) c)

 

            Encontrar a matriz de mudança de base S para a base T é também um problema de combinação linear pois é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de S em relação à base T.

            Assim, por exemplo, se tomarmos para V = R3 as bases S = {v1, v2, v3} e T = {w1, w2, w3}, para calcular devemos encontrar os escalares a1, a2 e a3 tais que

a1w1 + a2w2 + a3w3 = v1.

            Nesse caso, resolvemos o sistema linear cuja matriz aumentada é

.

            Da mesma forma precisamos calcular os escalares b1, b2 e b3 tais que

b1w1 + b2w2 + b3w3 = v2

e os escalares c1, c2 e c3 tais que

c1w1 + c2w2 + c3w3 = v3;

o que nos leva a resolver os sistemas lineares de matriz aumentadas

e .

            Como a matriz dos coeficientes para os três sistemas é a mesma, , podemos colocar as três matrizes na forma particionada

.

            Pela rotina rref ou escal obtemos a forma escada, reduzida por linha,

.

Assim = obtida acima.

Portanto, seguindo as idéias desenvolvidas acima, podemos encontrar a matriz construindo uma matriz A cujas colunas são os vetores de T e uma matriz B cujas colunas são os vetores de S. Então o comando

rref([A B])

fornece [I ], o que pode também ser obtido pela rotina escal ([A B]).

Use as técnicas do MATLAB descritas acima para encontrar a matriz mudança da base S para a base T nos exercícios ML.16, ML.17 e ML.18.
ML.16 V = R4; S = {(1, 2, 3, 0), (0, 1, 2, 3), (3, 0, 1, 2), (2, 3, 0, 1)}

T = base canônica

 
ML.17 V = R3; S = base canônica

T = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}

 
ML.18 V = P3; S = {t – 1, t + 1, t2 + t, t3 – t}

T = {t2, 1 – t, 2 – t2, t3 + t2}.

 

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