Um espaço vetorial, de dimensão finita, no qual está definido um produto interno, é um espaço vetorial euclidiano. Nosso estudo será desenvolvido em tais espaços de forma que podemos definir a norma de um vetor como segue:

            A norma (ou comprimento) de um vetor v, indicado por || v ||, é dada por:

.

            Se || v || = 1, isto é, < v, v > = 1, dizemos que o vetor v está normalizado, o que significa que seu comprimento é igual a 1 unidade.

,

4.2.4 Exemplo. A norma do vetor v = (3, – 1) em relação ao produto interno definido no exemplo 4.1.2, é:

.

e, em relação ao produto interno usual é:

.

            Para normalizar o vetor (3, – 1), em relação ao primeiro produto (exemplo 4.1.2), fazemos

4.2.5 Definição.                    

            Seja V um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que dois vetores v e w de V são ortogonais (em relação ao produto interno em questão )
            se < v, w > = 0. Valendo isto, escrevemos v ^ w.

            Diz-se que uma base b = {v₁, v₂, ..., v_n} de um espaço vetorial euclidiano V é base ortogonal se   < v_i, v_j > = 0 para i ¹ j,
            isto é, os vetores da base são dois a dois ortogonais.

(1, – 2, 1) . (4, 0, – 4) = 0; (1, – 2, 1) . (1, 1, 1) = 0; (4, 0, – 4) . (1, 1, 1) = 0

Note que o produto interno aqui é usual, já que o produto interno não é referido.

4.2.8 Definição.

                         < v_i, v_j > = ,

            isto é, b é uma base ortogonal com vetores unitários (normalizados).

            Assim, b ' = .¨