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download deste material4.1 PRODUTO INTERNO EM ESPAÇOS VETORIAIS (GABARITO)
RE.81 Sejam u = (u
1, u2) Î R2, v = (v1, v2) Î R2, w = (w1, w2) Î R2 e a Î R.Temos:
| i) < u, u > | = u1u1 – u2u1 – u1u2 + 3u2u2 = u12 – 2u1u2 + 3u22 = (u12 – 2u1u2 + u22) + 2u22 = (u1 – u2)2 + 2u22 > 0 (soma de dois quadrados)
|
| e < u, u > = 0 | Þ (u1 – u2)2 + 2u22 = 0 Þ (u1 – u2)2 = – 2u22 Þ u1 = 0 e u2 = 0 |
| ii) < a u, v > | = < (a u1, a u2),
(v1, v2) > = a u1v1 – a u2v1 – a u1v2 + 3a u2v2 = a (u1v1 – u2v1 – u1v2 + 3u2v2) = a < u, v > |
| iii) < u + v, w > | = < (u1 + v1, u2 + v2), (w1, w2) > = (u1 + v1)w1 – (u2 + v2)w1 – (u1 + v1)w2 + 3(u2 + v2)w2 = u1w1 – u2w1 – u1w2 + 3u2w2 + v1w1 – v2w1 – v1w2 + 3v2w2 = < u, w > + < v, w > |
| iv) < u, v > | = u1v1 – u2v1 – u1v2 + 3u2v2 = v1u1 – v2u1 – v1u2 + 3v2u2 = < v, u > |
Logo, a operação definida é um produto interno.
RE.82 a) < u, v > = – 8 b) < u, v > = 17
RE.83 A operação dada define um produto interno em V.
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