4.1 PRODUTO INTERNO EM ESPAÇOS VETORIAIS

 

 

E.81 Seja u = (u1, u2) e v = (v1, v2). Mostre que

            < u, v > = u1v1 – u2v1 – u1v2 + 3u2v2

define um produto interno em R2.

 

E.82 Use o produto interno definido em E.81 para calcular < u, v > sendo:

a) u = (1, 2) e v = (3, – 1)

b) u = (0, 1) e v = (– 2, 5)

 

E.83 Sejam V = M22 A, B Î V, tal que .

             < A, B > = a11b11 + a12b12 + a21b21 + a22b22 define um produto interno em V?

 

E.84 Consideremos um corpo no plano R2 que se desloca em linha reta da origem até um ponto (x1, y1) por ação de uma força constante
F = (x2, y2). Podemos calcular o trabalho realizado: dos conceitos de Física temos que trabalho é dado pela equação T = || F || . || v || . cos q , onde q é o ângulo entre v = (x1, y1) e F = (x2, y2). Mas


Portanto, T = x1x2 + y1y2

Ou seja, o trabalho produzido é o produto interno dos vetores v e F,
denotado por < v, F > .
            Se, ao invés de trabalharmos no plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R3 (munidos de um referencial cartesiano ortogonal), teríamos encontrado uma expressão similar para o produto escalar:

< (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) > = x1x2 + y1y2 + z1z2,

e o trabalho é calculado da mesma forma.

            Exercício: Um campo elétrico uniforme induz uma força constante dada pelo vetor f = (10, 2, – 5) em uma partícula carregada eletricamente. Podemos calcular o trabalho realizado quando a partícula se move na trajetória que começa e termina em A, dada pela figura abaixo. O trabalho total é: T = TAB + TBC + TCA, onde TAB é o trabalho realizado de A a B etc. Mostre que o trabalho total é nulo.

 

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