Unidade 04
Espaços Vetoriais Euclidianos
4.1 PRODUTO INTERNO EM ESPAÇOS VETORIAIS
Estamos interessados nesta seção em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e de ângulo entre dois vetores. Esses conceitos permitirão uma melhor compreensão do que seja uma base ortogonal e uma base ortonormal em um espaço vetorial e, principalmente, nos darão a noção de "medida" que nos leva a precisar conceitos como o de área, volume, distância, etc...
Consideremos inicialmente o plano R2, munido de um referencial cartesiano ortogonal (eixos perpendiculares) e um ponto P (x, y). Vamos calcular a distância do ponto P à origem O (0, 0).
Observando a figura e utilizando o teorema de Pitágoras, temos que 
. Podemos também,
interpretar este resultado dizendo que o comprimento (que passaremos a chamar de norma)
do vetor (x, y) é
.
Por outro lado, se tivermos dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2), podemos definir um "produto" de u por v assim:
< u, v > = x1x2 + y1y2,
produto este chamado de produto escalar ou produto interno usual e que tem uma relação importante com a norma de um vetor v = (x, y):
.
Se, ao invés de trabalharmos no R2, estivéssemos trabalhando no R3 (munidos de um referencial cartesiano ortogonal), teríamos encontrado uma expressão similar para o produto escalar:
< (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) > = x1x2 + y1y2 + z1z2
e a mesma relação com a norma de um vetor v = (x, y, z)
.
Voltando ao caso do plano, se tivéssemos trabalhando com um referencial não ortogonal (eixos não perpendiculares), e quiséssemos calcular a distância da origem até um ponto P (cujas coordenadas em relação ao referencial fossem (x, y) ), teríamos, usando o teorema de Pitágoras,
Observe que, se usássemos o produto escalar
< (x1, y1), (x2, y2) > = x1x2 + y1y2
neste caso não valeria a relação 
,
mas ela passaria a valer se usássemos a seguinte regra para o produto:
< (x1, y1), (x2, y2) > = x1x2 + (cos a )x1+ (cos a )x2y1 + y1y2, pois
< v, v > = < (x, y), (x, y) > = x2 + (cos a ) xy + (cos a )yx + y2 = || v || 2
Portanto, novamente a noção de distância poderia ser dada a partir de um produto interno de vetores.
Concluímos destes exemplos, que o processo usado para se determinar "medidas" num espaço pode variar e, em cada caso, precisamos ser bem claros sobre qual produto interno estamos trabalhando.
4.1.1 Definição.
Seja V um espaço vetorial real. Um produto interno sobre V é uma função f : V x V® R que a cada par de vetores v1 e v2, associa um número real, denotado por < v1, v2 > , e que satisfaz as seguintes propriedades:
( i ) < v, v > ³ 0, " v Î V, e < v, v > = 0 Û v = 0;
( ii) < a v1, v2 > = a < v1, v2 > , " a Î R;
(iii) < v1 + v2, v3 > = < v1, v3 > + < v2, v3 > ;
(iv) < v1, v2 > = < v2, v1 > .
4.1.2 Exemplo. V = R2; f ( (x1, y1), (x2, y2) ) = 2x1x2 + 5y1y2 é um produto interno sobre R2.
Para mostrar a veracidade da afirmação devemos provar as propriedades da definição 4.1.1. Sejam, então,
v1 = (x1, y1), v2 = (x2, y2), v3 = (x3, y3) e a Î R:
( i ) < v1, v1 > = <
(x1, y1), (x1, y1) > = 
e < v1, v1 > = 0 Þ 
Û 
Û 
Û x1 = 0 e y1= 0 Û v1 =
(0, 0).
| ( ii) < a v1, v2 > = < (a x1, a y1), (x2, y2) > | = 2a x1x2 + 5a y1y2 = a (2x1x2 + 5y1y2) = a < v1, v2 >
|
| (iii) < v1 + v2, v3 > = < (x1 + x2, y1 + y2), (x3, y3) > | = 2(x1 + x2)x3 + 5(y1+ y2)y3 = (2x1x3 + 5y1y3) + (2x2x3 + 5y2y3) = < v1, v2 > + < v2, v3 >
|
| (iv) < v1, v2 > = < (x1, y1), (x2, y2) > = 2x1x2 + 5y1y2 | = 2x2x1 + 5y2y1 = < v2, v1 > .¨ |
4.1.3 Exemplo. Em
Rn, o produto interno usual (ou escalar) é definido por:< (x
1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn) > = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn.Nota. Quando não há referência sobre o produto interno definido num espaço vetorial V, entendemos que sobre ele fica definido o produto interno usual.
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